- •Вопрос 1. Классификация моделей
- •Вопрос 2 Классификация математических моделей Классификация математических моделей
- •Вопрос 3.Решение нелинейных уравнений. Графический метод.
- •Вопрос 4. Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам
- •Вопрос 5. Решение нелинейных уравнений. Метод хорд
- •Вопрос 6. Метод касательных
- •Вопрос 7.Метод Крамера.
- •Вопрос 8. Формула прямоугольников.
- •Вопрос 9. Формула трапеций.
- •Вопрос 10. Метод Монте-Карло.
- •Вопрос 11. Приближение функций, основные понятия и определения.
- •Примеры
- •Вопрос 12. Приближение функций, метод наименьших квадратов
- •Приближение функции с использованием метода наименьших квадратов Определение коэффициентов линейной регрессии с помощью решающего блока
- •Вопрос 13. Численное дифференцирование. Основные понятия, геометрическая интерпретация. Вторая производная. Метод Эйлера
- •Вопрос 14. Численное дифференцирование. Задача Коши. Численное дифференцирование с использованием формулы Тейлора
- •Использование формулы Тейлора
- •Вопрос 15. Численное дифференцирование. Метод Эйлера-Коши
- •Вопрос 16. Метод деления пополам.
- •Вопрос 17. Метод золотого сечения. Принцип золотого сечения Основной принцип золотого сечения отражен в следующем соотношении:
- •Метод золотого сечения
- •Вопрос 18 Понятие об оптимизации. Метод Фибоначчи Метод чисел Фибоначчи
- •Алгоритм
Приближение функции с использованием метода наименьших квадратов Определение коэффициентов линейной регрессии с помощью решающего блока
a := 1 b := 1 - Задание начальных значений переменных
Given - Ключевое слово, указывающее на начало блока
- Совокупность решаемых уравнений
- Функция Find находит искомые значения
коэффициентов в уравнениях.
После нахождения коэффициентов линейного уравнения записывается уравнение связи и строится график корреляционной зависимости
- Уравнение связи
Вопрос 13. Численное дифференцирование. Основные понятия, геометрическая интерпретация. Вторая производная. Метод Эйлера
Численное дифференцирование – функция трудно (невозможно) продифференцировать аналитически (Ex – функция задана таблицей).
Вычисление 1ой производной
Пусть f(x) дифференцируема в окрестности точки x. Из определения производной следует
и (1.1)
Здесь h>0 - шаг.
Для оценки погрешностей
Геометрия интерпретируется f’(x)=tg,
= tg+;=tg-
Вычисление 2ой производной
Выражение для погрешности
Вопрос 14. Численное дифференцирование. Задача Коши. Численное дифференцирование с использованием формулы Тейлора
Решением обыкновенного ДУ первого порядка y’(t)=f(t,y(t)) (*) называется дифференциальная функция y(t), которая, при подстановке в (*), обращает его в тождество.
Чтобы выделить из семейства решений ДУ(*) одно конкретное, задают начальные условие y(t0)=y0 (**). Задачу нахождения при t>t0 решения y(t) ДУ (*), удовлетворяющего (**), называют задачей Коши.
Простейшие дискретный аналог ДУ (*)
Отсюда следует расчетная формула численного дифференцирования по методу Эйлера.
-
Использование формулы Тейлора
Разложение в ряд Тейлора
y’(t) – известна = f(t,y(t))
y”(t) = f’t + f’yy’ – дифференцирование сложной функции
y”’(t) = f(2)tt + f(2)tyy’ + (f(2)yt + f(2)yyy’)f + f’y(f’t + f’yy’)
По мере роста порядка (р) усложняются выражения для производных. Недостаток метода Эйлера - значит-я погрешность – на практике редко используется. Желательно поправить расчетную формулу.
Пусть y(t) – решение ДУ y’(t)=f(t,y(t)), удовлетворяет условию y(tn)=yn
Пусть (1.3)
- угловой коэффициент секущей, проходящей через точки (tn, y(tn)) и (tn+1, y(tn+1)) графика функции y(t). Ясно, что «метод» yn+1 = yn + hKn имеет нулевую локальную погрешность. Следовательно нужно научиться вычислять значение Kn. Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница приходим к равенству
(1.4)
Из (1.3) и (1.4) следует Kn =
Примечание. Для приближенного вычисления интеграла используется формула прямоугольников:
приводит к методу Эйлера.
Но больший порядок точности имеет формула трапеций:
Итого приходим к правилу трапеций:
Если подставим в правую часть значение yn+1 «предсказанное» методом Эйлера, получим в результате метод Эйлера-Коши:
Этот метод относится к методам прогноза и коррекции.