Вопрос 15. Численное дифференцирование. Метод Эйлера-Коши

Метод Эйлера-Коши

Расчетная формула

Y_i+1 = Y_i + h/2  (f(t_i,Y_i) + f(t_i+1, Y_i + h  f(t_i,Y_i))).

Вопрос 16. Метод деления пополам.

Найти W(x) на отрезке [a,b].

Шаг 1. x_m=(a+b)/2; L=b-a; вычислить W(x_m).

Шаг 2. x₁=a+L/4; x₂=b-L/4; вычислить W(x₁) и W(x₂).

Шаг 3.

1. Если W(x₁)<W(x_m), то исключить (x_m,b], т.е. b=x_m, x_m=x₁. Перейти к шагу 5.

1. Если W(x₁) W(x_m), то перейти к шагу 4.

Шаг 4.

1. Если W(x₂)<W(x_m), то исключить [a,x_m), т.е. a=x_m, x_m=x₂. Перейти к шагу 5.

1. Если W(x₂) W(x_m), то исключить [a,x₁) и (x₂,b], т.е. a=x₁, b=x₂. Перейти к шагу 5.

Шаг 5. L=b-a. Если  L < , то закончить поиск. В противном случае вернуться к шагу 2.

Продолжение примера 3.2.Ортимальный раскрой лесоматериалов (MathCAD)

Вопрос 17. Метод золотого сечения. Принцип золотого сечения Основной принцип золотого сечения отражен в следующем соотношении:

Э то правило положено в основу уменьшения отрезка локализации

Исходный отрезок [a0,b0], на котором ищется решение, разбивается двумя точками i0 и j0 по правилу золотого сечения:

Правило локализации (уменьшения отрезка) следующее:

Метод золотого сечения

Сущность метода. Интервал поиска делится на две равные части так, чтобы отношение длины большого отрезка к длине всего интервала было равно отношению

. Учитывая, что z1+z2=z, имеем		W(x)		z
z1^2=z z2 = (z1+z2)z2 = z1z2 + z2^2;			z1	z2
z1z2 + z2^2 - z1^2= 0,
откуда .
		a	x	b	x
	Рис. 3.2. Определение коэффициента дробления

Найти W(x) на отрезке [a,b].

Шаг 1. Вычисляем коэффициент дробления отрезка [a,b] k=(- 1)/2.

Шаг 2. x₁=a+(1-k)(b-a), вычислить W(x₁).

Шаг 3. x₂=a+k(b-a), вычислить W(x₂).

Шаг 4.

1. Если  x₂-x_{1  } , где  - заданная погрешность, то x_m = (x₁+x₂₎/2, вычислить W(x_m) и закончить поиск.

1. Если  x₂-x_1 > , то перейти к шагу 5.

Шаг 5.

1. Если W(x₁)>W(x₂), то исключить a=x₁, x₁=x₂ и W(x₁)=W(x₂). Перейти к шагу 3, затем к шагу 4.

1. Если W(x₁) W(x₂), то b=x₂, x₂=x₁ и W(x₁)=W(x₂). Перейти к шагу 2 и 4.

Таким образом, применение методов исключения интервалов накладывает единственное ограничение на исследуемую целевую функцию - унимодальность. Следовательно, рассмотренные методы можно использовать для анализа как непрерывных, так и разрывных и дискретных функций. Логическая структура поиска основана на простом сравнении значений функции в двух пробных точках.

Вопрос 18 Понятие об оптимизации. Метод Фибоначчи Метод чисел Фибоначчи

В силу того, что в асимптотике , метод золотого сечения может быть трансформирован в так называемый метод чисел Фибоначчи. Однако при этом в силу свойств чисел Фибоначчи количество итераций строго ограничено. Это удобно, если сразу задано количество возможных обращений к функции.