Полярная система координат

Полярная система координат состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Кроме этого задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

  это расстояние от точки М до полюса О,

угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом ОМ.

Полярные и декартовы координаты точки связаны соотношениями:

.

Чтобы получить изображение кривой в полярной системе координат, постройте лучи, выходящие из полюса 0 под углами j к полярной оси. На каждом луче отложите длину вычисленного Вами полярного радиуса r. Если r – отрицательное число, то для построения соответствующей точки нужно отложить модуль r на луче, повёрнутом на 180° вокруг полярной оси, то есть отложить от полярной оси угол . Соедините построенные Вами точки плавной линией.

Кривые, уравнения которых в полярной системе координат имеют вид , , называют розами. Причем, если – чётное, то лепестков

у розы , а если число – нечётное, то у розы лепестков.

Поверхности второго порядка

№	Вид поверхности второго порядка	Уравнение	Рисунок
1	Эллипсоид
2	Мнимый эллипсоид
3	Однополостный гиперболоид
4	Двуполостный гиперболоид
5	Эллиптический параболоид
6	Гиперболический параболоид
7	Конус
8	Мнимый конус
9	Эллиптический цилиндр
10	Гиперболический цилиндр
11	Параболический цилиндр	Y^2 = 2pX
12	Мнимый эллиптический цилиндр
13	Пара мнимых пересекающихся плоскостей
14	Пара пересекающихся плоскостей
15	Пара параллельных плоскостей	X^2 − a^2 = 0
16	Пара мнимых параллельных плоскостей	X^2 + a^2 = 0
17	Пара совпавших плоскостей	X^2 = 0

Глава 3. Предел и непрерывность функции одного аргумента

3.1. Вычисление пределов

Определение понятия функции одного аргумента

Если каждому элементу х из множества Х () поставлен в соответствие определенный элемент y из множества Y (), то говорят, что на множестве Х задана функция со значениями во множестве Y. Элементы называют значениями аргумента, а элементы  значениями функции. Множество Х называется областью определения функции, а множество всех значений функции – областью значений функции. В случаях, когда множества Х и Y  числовые множества, соответствующие функции, называют числовыми функциями.

Основные элементарные функции

Степенная , Показательная , Логарифмическая , Тригонометрические , Обратные тригонометрические , постоянная .

Определение элементарных функций

Элементарными называют функции, которые получаются из основных элементарных функций в результате применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции) функций.

Определение предела функции f(x) в точке x = a.

Число A называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к a (), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , следует выполнение неравенства . Используя логические символы, можно записать:

Геометрический смысл этого определения заключается в следующем.

Какую бы узенькую полоску шириной 2, параллельную оси абсцисс и содержащую прямую y = A посередине ( окрестность точки y = A: ), мы ни выделили, всегда существует такой симметричный интервал длиной 2 с центром в точке х = а, (проколотая  окрестность точки х = а: ), что для всех х из проколотой  окрестности точки х = а значения функции f (x) попадают в  окрестность точки y = A:

Для любого ипсилон больше нуля положительное дельта найдется,

Такое, что если х из проколотой дельта – окрестности точки а любой берется,

Значение функции f(х) в ипсилон – окрестность точки А попадется.

Определение предела функции при

Число А называется пределом функции y = f(x) при стремлении х к бесконечности, если для любого положительного сколь угодно малого числа существует сколь угодно большое положительное число M, что для всех х из области определения функции из выполнения неравенства следует выполнение неравенства . То есть

В частности, если , то

если же , тогда

Неравенство  эквивалентно системе двух неравенств: .

Определение непрерывной в точке х = x0 функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 , если предел функции в точке x = х0 равен значению функции в этой точке: .

1.6.

Три условия для непрерывной в точке x = х0 функции

Функция f (x) определена в точке x= х0. Существует предел функции f(x) при х0. Предел функции f(x) в точке x= х0 совпадает со значением функции f(x) в этой точке.

1.7.

Теорема о непрерывности элементарных функций

Все элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций. Для элементарных функций предел функции в точке равен значению этой функции в данной точке.

Раскрытие неопределённости вида

			c = const ≠ 0, b = const ≠ 0
№ n/n	Вид функции f(x)	Какие преобразования нужно сделать	Результат преобразований
1		Разделить многочлены Pn(x) и Qm(x) на разность (х  а), сократить f(x) на эту разность (х  а) и подставить вместо х значение х = а.	– повторить приём
2	Функция f(x) содержит иррациональность вида	Умножить и разделить функцию f(x) на сопряженное иррациональное выражение , использовать формулу сокращенного умножения (А–В)(А+В)=А^2–В^2 и сократить f(x) на разность (х – а).	------ // ------
3	Функция f(x) содержит иррациональность вида или	Умножить и разделить разность кубических корней на неполный квадрат суммы, а сумму кубических корней – на неполный квадрат разности, воспользоваться формулами сокращенного умножения: (А–В)(А^2+АВ+В^2)=А^3–В^3; (А+В)(А^2– АВ+В^2)=А^3+В^3 и сократить функцию f(x) на разность (х – а).	– повторить приём

Замечание.

При делении многочлена P_n(x) или Q_m(x) на разность (х – а) опираются на теорему Безу: если число х = а является корнем многочлена (при х = а многочлен равен нулю), то этот многочлен делится на разность (х – а) без остатка.

Деление многочлена на разность (х – а) осуществляется по тем же правилам, по которым делятся столбиком числа:

_a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n x  a

a₀xⁿ  aa₀x^n-1 a₀x^n-1 + (a₁ + aa₀)x^n-2 + … = P_n-1(x)

_ (а₁ + aa₀)x^n-1 + a₂x^n-2

(a₁ + aa₀)x^n-1 – a(a₁ + aa₀)x^n-2

_ (a₂ + a(a₁ + aa₀))x^n-2 + a₃x^n-3

……………………………

……………………………

0

Обратите внимание на то, что индекс в обозначении многочлена соответствует старшей степени х этого многочлена.

В результате деления получим представление многочлена Р_n (х) в виде произведения многочлена

P_n-1 (x) на разность (x–a) :

Р_n(x) = (x – а) Р_n-1(х).