- •Содержание
- •Глава 1.
- •Глава 2.
- •Глава 3.
- •Глава 4.
- •Глава 5.
- •Глава 6.
- •Глава 7.
- •Глава 8.
- •Введение
- •Глава 1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •1.2. Определители и их вычисление
- •1.3. Ранг матрицы
- •Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы
- •Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями
- •Свойства матриц и определителей
- •1.4. Обратная матрица
- •1.5. Исследование и решение произвольной системы линейных алгебраических уравнений
- •Глава 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •2.1. Элементы векторной алгебры
- •П Точка , точка роизведения векторов элементы векторной алгебры
- •2.2. Геометрия прямых и плоскостей в таблицах
- •Уравнения плоскости р в трехмерном пространстве r3 и уравнения прямой l в двухмерном пространстве r2
- •Уравнения прямой l в трехмерном пространстве r3 и в двухмерном пространстве r2
- •Взаимное расположение плоскостей p в трёхмерном пространстве r3 и прямых l в двухмерном пространстве r2
- •Расстояния d(p1,p2) между плоскостями p1 и p2 и d(l1,l2) между прямыми l1 и l2 в r3, пересечение pl плоскости p и прямой l в r3
- •Полярная система координат
- •Поверхности второго порядка
- •Глава 3. Предел и непрерывность функции одного аргумента
- •3.1. Вычисление пределов
- •Предел дробно-рациональной функции
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •Предел отношения б. М. Ф. (б. Б. Ф.) не изменится, если заменить эти функции эквивалентными.
- •Разность эквивалентных б. М. Ф. (б. Б. Ф.) есть б. М. Ф. (б. Б. Ф.) более высокого порядка малости (роста) по сравнению с уменьшаемой и вычитаемой б. М. Ф. (б. Б. Ф.).
- •Сумма конечного числа б. М. (б. Б.) слагаемых разного порядка малости (роста) эквивалентна слагаемому самого низкого (высокого) порядка малости (роста).
- •3.2. Непрерывность функции одного аргумента
- •Глава 4.
- •4.1. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Сложная функция
- •Параметрически заданная функция
- •8. Логарифмическое дифференцирование
- •4.2. Таблица интегралов
- •4.3. Приложения производной Теоремы Роля, Лагранжа, Коши
- •Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •Исследования функции без применения производных
- •Исследования функции с применением производных
- •4.4. Неопределенный интеграл Метод непосредственного интегрирования
- •Метод интегрирования по частям
- •План интегрирования рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций
- •Интегрирование иррациональностей
- •4.5. Несобственные интегралы (н.И.)
- •4.6. Приложения определенного интеграла
Предел дробно-рациональной функции
, х
1) m > n 0, ;
-
n = m 0, ;
3) n > m 0,
Более того, если функция f(x) представляет собой отношение линейных комбинаций степенных функций, показатели которых неотрицательны (то есть m и n не обязательно целые, но обязательно неотрицательные), то при можно оставить в числителе и в знаменателе только слагаемые наибольших степеней х, а остальными пренебречь. Предел функции при из-за отбрасывания слагаемых, содержащих меньшие степени х (в том числе и х0 = 1), не изменяется, то есть
,
где n > n1 > n2 > … 0, m > m1 > m2 > … 0 (слагаемые записываются в порядке убывания степеней х).
Предел функции при х
-
n > m 0
-
n = m 0
-
m > n 0
Пусть f(x) = qx, q = const.
Предел функции f(x) = qx, q = const, если
-
|q| < 1 0;
-
q = 1 1;
-
1 < q < ;
-
< q 1 не существует.
Сравнение бесконечно малых функций
Определение бесконечно малой функции |
Функция называется бесконечно малой при , если предел этой функции равен нулю при : .
|
Пусть (х) и (х) – бесконечно малые функции (б. м. ф.)
при х а, то есть , тогда:
-
(х) – б. м. ф. более высокого порядка малости по сравнению с (х) – б. м. ф.
при х а, если
;
-
(х) – б. м. ф. более низкого порядка малости по сравнению с (х) – б. м. ф.
при х а, если
;
-
(х) и (х) – б. м. ф. одинакового порядка малости
при х а, если
;
-
(х) и (х) – б. м. ф., эквивалентные при х а, если
(x)~(x);
-
(х) – б. м. ф. k-го порядка малости по сравнению с (х) –
б. м. ф. при х а, если
.
Теорема о первом замечательном пределе. |
Предел функции при существует и равен единице: . |
Теорема о втором замечательном пределе. |
Предел функции , если , и функции , если , существует и равен числу : .
|
Применение первого и второго замечательных пределов позволяет доказать справедливость формул в таблице эквивалентных бесконечно малых функций при х а.
|
|||
1 |
~ |
6 |
~ |
2 |
~ |
6а |
~ |
3 |
~ |
7 |
~ |
4 |
~ |
7а |
~ |
5 |
~ |
8 |
~ |
Замечание. В случаях, когда аргумент α(х) функции в вычисляемом пределе стремится не к нулю, а к отличному от нуля числу, например, α(х) а, а0, вводят новую переменную t = α(х) – а.
Тогда, если α(х) а, то t 0 (функция t(х) должна быть непрерывной функцией в окрестности точки t = 0 ).
Новая переменная t 0 (при α(х) а), и для нее легко можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых функций.
Например, вычислим предел
Предварительно сделаем следующие преобразования:
при
и воспользуемся результатами преобразований:
=
Определение бесконечно большой функции |
Функция f(x) называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большого положительного числа L существует такое положительное число , зависящее от L , что для всех х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . При этом пишут: ; это и означает, что функция f(x) является бесконечно большой. |
То есть при стремлении значений х к точке х = а значения функции
f (x) становятся больше сколь угодно большого предварительно заданного ч исла L.
Бесконечно большие функции (б. б. ф.), так же как и бесконечно малые, можно сравнивать между собой.
Если предел отношения двух бесконечно больших функций равен:
-
Бесконечности, тогда в числителе – б. б. ф. более высокого порядка роста;
-
Нулю, тогда в числителе – б. б. ф. более низкого порядка роста;
-
Постоянному числу, не равному нулю или единице, тогда эти бесконечно большие функции одинакового порядка роста;
-
Единице, тогда бесконечно большие функции эквивалентны.
Полезно иметь в виду, что при вычислении пределов отношений конечного числа б. б. ф. складываемых функций слагаемые более низкого порядка роста можно отбрасывать, а сумму заменять слагаемым самого высокого порядка роста.
При самый высокий порядок роста имеет показательная функция ; степенная функция имеет порядок роста, более низкий по сравнению с показательной функцией, но более высокий по сравнению с логарифмической; логарифмическая функция имеет самый низкий порядок роста по сравнению и с показательной функцией, и со степенной. Это обозначают так:
, при .
Очень эффективным при вычислении пределов оказывается применение следующих правил: