4.6. Приложения определенного интеграла

Теорема. Если величина Q обладает на [a,b]

1. свойством аддитивности, а именно, если a = x₀  x₁  x₂ … x_n = b,

то Q=Q₁+Q₂+…+Q_n, где Q_i – значение Q на [x_i-1,x_i], i=1,2,…n;

2. свойством линейности Q в малом: Q  f(x)x, где f(x) – интегрируемая на [a,b] функция,

то величину Q можно найти интегралом от её элемента dQ = f(x)dx по промежутку [a,b]:

Q	№	Чертеж	Система координат и пояснения	Формула	Q
S, п л ощ а д ь п л о с к о й ф и г у р ы D	1		Д. С. К. Одна кривая границы области D не выше другой.		S, п л о щ а д ь п л о с к о й ф и г у р ы D
	2		Д. С. К. Одна кривая границы области D не левее другой.
	3		Д. С. К.   t   x()=a, x()=b ( y(t)0,  t [, ] ) Верхняя граница области задана параметрически
	4	α β ρ1(φ) ρ2(φ)	П. С. К.
, д л и н а к р и в о й L	1		Д. С. К.		, д л и н а к р и в о й L
	2		Д. С. К.
	3		Д. С. К. Линия L задана параметрически
	4	ρ(φ) β α	П. С. К.

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Q	№	Чертеж	Система координат и пояснения	Формула	Q
V, о б ъ е м т е л а Т	1		Д. С. К.		V, о б ъ е м т е л а Т
	2		Д. С. К. Тело Т образовано вращением кривой у=f(х) вокруг оси 0Х
, п л ощ а д ь п о в е р х н. ω	1		Д. С. К. Поверхность  образована вращением кривой у=f(х) вокруг оси 0Х		, п л о щ а д ь п о в е р х н. 
			Д. С. К. Поверхность  образована вращением кривой у=f(х (t)), заданной параметрически, вокруг оси 0Х
S, п у т ь	1		Д. С. К. V – скорость прямолинейного движения тела на промежутке времени [t1,t2]		S, п у т ь
А, р а б о т а	1		Д. С. К. Сила F направлена параллельно оси 0Х на промежутке [a,b]		А, р а б о т а
Р,д а в л	1		Д. С. К.  – плотность жидкости, давящей на пластину D		Р, д а в л.
m,м а с с а	1		Д. С. К.  – линейная плотность кривой L		m,м а с с а

Статические моменты относительно координатных осей S_x, S_y,, моменты инерции М_х,, М_у, координаты центра тяжести х_с, у_с плоской кривой

0