Замена переменной в интеграле

Наибольшее число известных интегралов вычисляются с использованием этого приема. Суть его в следующем. Вместо прежней переменной интегрирования вводится новая переменная так, чтобы вновь получившийся интеграл стал более простым, или более удобным для интегрирования. Основан этот прием на свойстве инвариантности первого дифференциала функции.

Рассмотрим интеграл . Очевидно, его можно представить в виде , где неизвестная пока первообразная подынтегральной функции . Пусть . Из инвариантности первого дифференциала имеем с одной стороны , с другой

,

откуда следует, что вместо интеграла можно вычислять интеграл

. После вычисления полученного интеграла необходимо вернуться к старой переменной. Итак,

,

где функция, обратная функции .

Примеры.

1.

.

После выделения полного квадрата в подкоренном выражении стала очевидной замена, приводящая интеграл к табличному. Замена приведена в фигурных скобках. Важно отметить, что в ходе замены должна быть установлена связь не только между новой и старой переменными, но и между дифференциалами этих переменных.

Необходимо заметить, что в первой строке осуществлена, вообще говоря, неверная запись результата, в результате которой вычисленный интеграл представлен в виде функции , хотя он является функцией , что подтверждается второй строкой решения после проведения обратной замены. В большинстве учебников такая вольность промежуточных вычислениях считается допустимой в, однако, ответ должен быть функцией старой переменной. Это продемонстрировано во втором и третьем примерах.

2. .

3. .

Следует заметить, что при вычислении практически каждого интеграла используется формула дифференциала функции . Без знания этой формулы вычисление интегралов невозможно.

В вышеприведенных примерах не всегда понятно, как выбирается замена переменной. Далее будет изложена теория, из которой следует, какую замену нужно производить в том, или ином случае.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

7. ,    8. ,    9. ,

10. ,    11. ,    12. ,

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям обычно используется, если подынтегральная функция представляет произведение функций разных типов - степенная и показательная, степенная и тригонометрическая, обратная тригонометрическая функция и степенная, показательная и тригонометрическая и т.д. Интегрирование в этом случае производится с помощью формулы

,

где . Докажем эту формулу

,

интегрируем обе части равенства , в результате имеем

,

откуда следует вышеприведенная формула.

При применении процедуры интегрирования по частям важен выбор функции .

Укажем приоритеты выбора этой функции.

1. В первую очередь в качестве выбирается одна из функций , .

2. При отсутствии этих функций в подынтегральном выражении в качестве может быть выбрана находящаяся в числителе степенная функция с целым положительным показателем степени.

Других приоритетов при выборе этой функции нет, задание в этом случае осуществляется перебором возможных вариантов.

Примеры.

1.

.

Замечания

а) из примера становится ясным, почему указанная процедура называется интегрированием по частям. Один интеграл вычисляется при определении , другим интегралом является , то есть вместо одного интегрирования производится два

б) в качестве в этом примере выбрана логарифмическая функция, поскольку она обладает высшим приоритетом по сравнению со степенной функцией,

в) при определении постоянную интегрирования обычно считают нулем, поскольку в качестве может использоваться любая из первообразных подынтегральной функции.

2.

3.

.

В этом примере для получения табличного интеграла пришлось интегрировать по частям дважды, при каждом интегрировании показатель степени степенной функции уменьшался на единицу. В итоге повторном применении указанной процедуры степенная функция из подынтегрального выражения исчезла, и интеграл стал проще.

4.

.

Отметим, что после дважды примененной процедуры интегрирования по частям табличного интеграла не получилось, но образовалась формула

,

из которой следует

или

.

Примечание. В третьем и четвертом примерах пришлось интегрировать по частям дважды. Иногда при повторном интегрировании по частям и заменяют другими символами, скажем, и . Это делать не обязательно ввиду того, что первое интегрирование по частям уже закончено, и используемые там символы "освободились".

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

13. , 14. , 15. .