2. Уравнение прямой линии на плоскости: общее, с угловым коэффициентом,

параметрические, канонические. Угол между прямыми, условия

параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Некоторые частные случаи уравнения прямой.

1) если А=0 следовательно прямая параллельна оси Ох

2) если В=0 следовательно прямая параллельна оси Oy

3) если С=0, следовательно Ах+Вy=0, значит прямая проходит через начало координат

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется уголповорота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

  

                                              рис.1.

Из определения следует, что угол наклона  прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : . Если прямая , то .

   Пусть

                                                                     (1)

– общее уравнение прямой L, где  – нормальный вектор прямой L и . Тогда  и  (см. рис.1). Выразим у изуравнения (1)

                                    .

                                  , .

Уравнение прямой L принимает вид:

                                            .

Определение. Уравнение прямой вида

                                                                             (2)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом

                                            

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

                                               .                                (3)

   Доказательство. 1) Если прямая , то  и . С другой стороны, ее нормальный вектор  и .

   Тогда  и, следовательно, , ч.т.д.

2) Пусть , тогда ,  и . Пусть F – точка пересечения прямой L с осью абсцисс. Тогда

                                    , .

Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке F , а в точке оси Ох с координатой  проведем касательную m к этой окружности. См. рис.2.

                                                рис.2.

Выберем положительное направление на прямой m, так, чтобы . Тогда ось m является осью тангенсов для данной единичной (тригонометрической) окружности.

   Пусть Р – точка пересечения прямой L с осью тангенсов m. Тогда, с одной стороны, , где  – угол наклона прямой L к оси Ох, а, с другой стороны, точка  и , откуда и следует равенство , ч.т.д.

Теорема доказана.

   Заметим, что приведенное доказательство принадлежит автору этих лекций. Достоинством этого доказательства является то, что оно не зависит ни от величины угла наклона , ни от величины коэффициента .

   В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении (2) равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (см. рис.2).

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

 (4)

где х и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если x=t+l, y=t²,тo значению параметра t = 2 соот­ветствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х = 2 + 1 = 3,  у = 2² = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется пара­метрическим, а уравнения (4) - параметрическими уравнениями ли­нии.

Далее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х₁,у₁) и вектора S=mi+nj , параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называетсянаправляющим вектором прямой L.

Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы

коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны.

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

• Канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀ (х₀у₀z₀) и имеющей направляющий вектор 

В чем смысл этого уравнения?

На прямой известна фиксированная точка Н₀ (х₀, у₀, z₀). Рассмотрим на этой прямой еще текущую точку М (х, у, z). Вектор  есть направляющий вектор нашей прямой, то есть он коллинеарен любому вектору, лежащему на ней, в том числе и вектору .

То есть, вектора  и коллинеарны, а коллинеарность векторов означает пропорциональность координат и является уравнением прямой.

Рассмотрим пример: Даны вершины пирамиды А₁(1,2,3) А₂(3,5,4) А₃(1,5,2) А₄(3,4,8)

Найти:

1) Длину ребра А₁А₂. Длина ребра есть длина вектора A₁A₂ =(3-1, 5-2, 4-3) = (2,3,1)

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄. Угол между ребрами есть угол между векторами A₁A₂ и А₁А₄

А₁А₂=(2,3,1) А₁А₄=(2,2,5)

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃.

Поскольку угол между прямой и плоскостью есть угол между прямой и ее проекцией на плоскость, мы можем рассмотреть угол, дополняющий  до  /2 . Это угол между нормалью к плоскости и А1А4. В качестве нормали возьмем векторное произведение A1A2(2,3,1) и A1A3(0,3,-1)

4) Площадь грани А₁А₂А₃. S_А1А2А3 есть площадь треугольника А₁А₂А₃ и половина площади параллелограмма, построенного на А₁А₂ и А₁А₃ , которая равна длине вектора N, вычисленного выше.

Найдем объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А_4.

5) Чтобы найти объем пирамиды, мы можем воспользоваться выражением через объем призмы который, как мы знаем, равен смешанному произведению векторов, на которых, как на ребрах построена призма.

6) Уравнения прямой А₁А₂: Направляющий вектор - А₁А₂ , точка, через которую проходит прямая – А₁.

Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (то есть имеющей данный направляющий вектор)

7) Уравнение плоскости А₁А₂А₃: опорные точки – А₁,А₂,А₃

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

 разложим по элементам 1-го столбца:

(х - 1)(-6) - 2[(у - 2)(-1) - 3(z - 3)] = 0 6(1 - х) - 2(2 - у - 3z + 9) = 0 6 - 6х - 22 + 2у + 6z = 0

6х - 2у - 6z + 16 = 0 или 3х - у - 3z + 8 = 0

8) Известно, что наша прямая проходит через точку А₄ (3,4.8). Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (с заданным направляющим вектором).

Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = А, В₁ = В. Если еще и С₁ = С, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.