- •Раздел «линейная и векторная алгебра»
- •1.Основные алгебраические структуры: группа, кольцо, поле.
- •2.Определители 2-го, 3-го, n-го порядков, их свойства, способы вычисления.
- •3.Алгебраические дополнения и миноры. Правило Крамера.
- •4.Матрицы, линейные операции над ними и их свойства. Умножение матриц.
- •5.Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие ее существования и методы вычисления.
- •6.Понятие n-мерного векторного пространства.
- •7.Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.
- •8.Теорема о базисном миноре.
- •9.Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы.
- •10.Векторы, линейные операции над ними. Длина вектора. Линейная зависимость
- •11.Скалярное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •12. Векторное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •13. Смешанное произведение векторов, его свойства и выражение через
- •2. Раздел «аналитическая геометрия»
- •1.Понятие об уравнении линии и поверхности. Полярная система координат.
- •2. Уравнение прямой линии на плоскости: общее, с угловым коэффициентом,
- •3. Общее уравнение плоскости в пространстве, расстояние от точки до
- •4. Различные формы уравнения прямой в пространстве (канонические,
- •5. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола,
- •Кривая второго порядка может быть задана уравнением
- •6. Уравнения поверхности в пространстве. Цилиндрические
- •7. Преобразование координат: поворот и параллельный перенос,
- •1. Прямоугольные координаты точки на плоскости
- •Т.Е. Новые координаты точки м(х'у') равны ее старым координатам минус координаты нового начала. Обратно, из (1.1.1) находим
- •3. Введение в математический анализ
- •1. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани множества. Предельные точки множества.
- •2.Предел числовой последовательности. Единственность предела.
- •3. Понятие функции, способы ее задания. Сложные функции.
- •4. Односторонние пределы. Ограниченность функции, имеющей предел.
- •5. Бесконечно малые функции и их свойства. Произведение
- •6. Предел суммы, произведения и частного функции.
- •7. Первый замечательный предел.
- •8.Второй замечательный предел. Число "е".
- •9.Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов.
- •10.Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация.
- •11.Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
- •12.Производная функции, ее геометрический смысл.
- •13.Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- •14.Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной неявно.
- •15.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •16.Раскрытие неопределенностей, правила Лопиталя.
- •17.Условие возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции.
- •18. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Асимптоты кривой. Общая схема построения графика.
- •4. Функции многих переменных
- •1.Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества.
- •2.Функции многих переменных. Частные производные и полный дифференциал ф.М.П.
- •3.Дифференцирование сложных ф.М.П. Производная по направлению.
- •4.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков.
- •5.Экстремумы ф.М.П. Достаточное условие экстремума.
12.Производная функции, ее геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Производные
основных элементарных функций. Таблица производных.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
у
f(x)
f(x0 +x) P
f
f(x0) M
x
0 x0 x0 + x x
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
,
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
Уравнение нормали к кривой: .
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u v) = u v
2) (uv) = uv + uv
3), если v 0
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.
1)С = 0; 9)
2)(xm) = mxm-1; 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)
13.Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
Тогда можно записать: , где 0, при х0.
Следовательно: .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx.
Можно также записать:
Геометрический смысл дифференциала.
y
f(x)
K
dy
M y
L
x x + x x
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
14.Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной неявно.
Не всегда функция бывает представлена в виде . Например, уравнение задает функцию y, которую можно из этого уравнения выразить через : .
Пусть переменные связаны между собой некоторым уравнением (4.2)
причем y является функцией от x. Тогда говорят, что функция y задана неявно уравнением (4.2).
Не всегда функции, заданные неявно могут быть выражены явно через элементарные функции. Так, из уравнения , которое неявно задает функцию y, нельзя выразить y явно через элементарные функции.
Для того чтобы найти производную y' для функции, заданной неявно уравнением (4.2) надо найти производные по x от обеих частей этого уравнения, помня, что y – функция от x и приравнять эти производные. Из полученного уравнения найти y'.
Пример 4.2. Найти производную функции, заданной неявно уравнением .
Решение.
.
.
Отсюда .
4.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром):
(4.3)
Каждому значению t из некоторого интервала соответствуют определенные значения x и y, а, следовательно, определенная точка Mплоскости. Когда t пробегает все значения из заданного интервала, то точка M описывает некоторую линию L. Уравнения (4.3) называютсяпараметрическими уравнениями линии L.
Если функция на некотором интервале изменения t имеет обратную функцию , то подставляя это выражение в уравнение , получим , которое задает y как функцию от x.
Пусть , имеют производные, причем . По правилу дифференцирования сложной функции . На основании правила дифференцирования обратной функции , имеем:
(4.4)
Полученная формула (4.4) позволяет находить производные для функций, заданных параметрически.
Пример 4.3. Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически:
.
Найти .
Решение.
Пример 4.4. Найти , если переменные и связаны соотношением
.
Решение.
Явно выразить одну из переменных через другую невозможно, поэтому находим производные левой и правой частей данного равенства и приравниваем их:
.
Далее имеем:
;
.
Перенося слагаемые, содержащие , в одну часть равенства, вынося за скобку, а остальные слагаемые – в другую и деля на коэффициент при , получаем:
.
Пример 4.5. Найти и для функции, заданной параметрически:
.
Решение
;;
; ;
;
.
Рассмотрим показательно-степенную функцию , где , u(x), v(x) – дифференцируемые функции.
Прологарифмируем равенство , получим: (по свойствам логарифмов). Дифференцируем обе части полученного равенства как неявную функцию, помня, что y – функция от x:
,
откуда .
Подставляя сюда , имеем:
.
Этот прием нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.
Пример 4.6. Найти .
Решение.
Вначале прологарифмируем данное равенство
,
и найдем производные от обеих частей полученного равенства, приравнивая их:
Учитывая, что , имеем:
.
Пример 4.7. , (x > 0). Найти производную функции y'.
Решение.
,
или
5.1. Понятие производной высшего порядка
Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная также является функцией от x на этом промежутке. Если имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y'' или .
Итак,
Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или .
Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной -го порядка и обозначается: y(n) или f (n)(x). Итак,
f (n)(x) = (f (n-1)(x))'.
Производные y'', y''', ... называются производными высших порядков.
Пример 5.1. . Найти и .
Решение.
= =,
= –,
= = ,
= = = .
Пример 5.2. Найти производную n-го порядка для функции .
Решение.
,
,
.
По аналогии находим: .
5.2. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически на интервале Т:
,
Найдем . Известно, что = = (п. 4.3), поэтому
= = = = .
Аналогично будет вычисляться и т. д.
Пример 5.3. Найти и для функции, заданной параметрически:
.
Решение.
;
;
;
;
;
=
.