6. Уравнения поверхности в пространстве. Цилиндрические

поверхности, сфера, конусы, эллипсоид, гиперболоиды,

параболоиды. Изображение поверхностей 2-го порядка, заданных

каноническими уравнениями.

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Цилиндрические поверхности.

Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

1. - эллиптический цилиндр.

2) - гиперболический цилиндр.

2. x² = 2py – параболический цилиндр.

Поверхности вращения.

Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x² + z², y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z² + y², x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

1. - эллипсоид вращения

2. - однополостный гиперболоид вращения

3. - двуполостный гиперболоид вращения

4. - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

Однополостный гиперболоид:

Двуполостный гиперболоид:

Эллиптический параболоид:

Гиперболический параболоид:

Конус второго порядка:

7. Преобразование координат: поворот и параллельный перенос,

формулы перехода.

1. Прямоугольные координаты точки на плоскости

             Положение точки на плоскости проще всего определить при помощи прямоугольной системы координат (декартовы координаты), которую мы определим следующим образом:

             1) выберем две взаимно перпендикулярные прямые - две оси координат (ось абсцисс и ось ординат), точка их пересечения называется начало координат (обозначим буквой O);

            2) на каждой оси выберем положительное направление;

 

Рис. 1.1.

            3) для каждой оси выберем единицу длины.

 

 

            Положение точки  М  относительно выбранной системы координат определяется двумя координатами - абсциссой  х  (число, равное длине oм_х) и ординатой  у  (длина oм_у).     Эти два числа полностью определяют положение точки на плоскости.

 

 

            Отрезок, соединяющий начало координат с точкой М,  называется ее радиусом-вектором.

 

Рис.  1.2.

 

            Обозначим через  j  угол, образованный  ОМ  с положительным направлением оси  Ох,  и через   r - его длину, тогда можно координаты точки определить следующим образом:

(1.1)

 

 

 

 

 

 При решении различного рода задач, иногда выгодно, вместо данной системы координат Оху, решать задачу в другой системе координат и тогда возникает вопрос о переходе от одной системы координат к другой и обратно. Другими словами, выбирается система координат О'х'у', определенным образом ориентированная относительно первой Оху.

Рассмотрим простейший случай, когда происходит простой параллельный перенос системы координат. Определение. Параллельным переносом осей координат называют переход от системы координат Оxy к новой системеО₁x₁y₁, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

            Пусть начало новой системы координат О'х'у', по отношению к старой имеет координаты О'(а,b). Возьмем произвольную точку М(х,у) в старой системе координат, которая в новой системе будет иметь некоторые «новые координаты» (х'у') (См. рис.1.2.1).

 

Тогда получаем, что

х' = х – а,

  у' = у – b    

      (1.1.1)