9.Производная по направлению: определение, формула, пример.

Определение:

Производной функции по направлению называется предел , где

Вычислительная формула:

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности .

Пример:

Вычислить функции в в направлении , где

10.Определение градиента функции нескольких переменных. Теорема о связи градиента и производной по направлению данной функции в данной точке .

Определение градиента функции нескольких переменных:

Градиентом функции в точке называется вектор вида:

Теорема о связи градиента и производной по направлению данной функции в данной точке :

Производная по направлению равна проекции вектора градиента на единичный вектор этого направления:

11.

Тема № 17.   Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x₀, y₀, z₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка  P (x₀, y₀, z₀) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.

Пусть х = х(t), у = у(t), z = z(t) –  параметрические уравнения линии L.

Предположим, что: 1) функция F(х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции  х(t), у(t), z(t) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s , то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x(t), у(t), z (t)] = 0.

Определение 2. Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

;         (18)

(18) – уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x₀, y₀, z₀) к поверхности s , заданной уравнением F(х, у, z) = 0;

; (19)

Тема 2.

1.Определение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения . Постановка задачи Коши.

Определение:

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные до n-го порядка включительно

Теорема существования и единственности решения:

Если правая часть и ёё частная производная по дифференциального уравнения непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию .

Постановка задачи Коши:

Задача Коши – задача отыскания решения ДУ первого порядка , удовлетворяющего данному начальному условию .