Тема 3. Элементы теории функцмй комплексного переменного

1. Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Примеры.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел x и y. Первое из них x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez, x = Rez; второе число y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Imz, y = Imz.

• Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

 z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)

 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2),

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой  и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

Примеры

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i.

• Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

z1∙z2 = r1(cosj1 + isinj1)×r2(cosj2 + isinj2) = r1r2(cosj1cosj2 + icosj1sinj2 + isinj1cosj2 + i2 sinj1sinj2) =

= r1r2((cosj1cosj2 – sinj1sinj2) + i(cosj1sinj2 + sinj1cosj2))

Þ

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример

• При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

• При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:

 

Примеры

1);

2).

• Умножение в показательной форме

,

• Деление в показательной форме

Примеры

Пусть ,

.

Тогда ;

;

2. Формула Муавра и формула извлечения корня n-й степени из комплексного числа. Примеры.

\ то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример: Вычислить (1 + i)^10.

Решение:

Корень n-й степени из комплексного числа

Корнем степени n из комплексного числа z, где N, называется комплексное число w, такое что wn = z

.

Примеры , так как ;

Все значения  расположены регулярным образом на окружности радиусом  с начальным углом  и углом регулярности .

Пример

1)

, k = 0, 1, 2 Þ

Þ,

.

Ответ:

3. Геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел. Примеры построения областей.

|z1-z2|=расстоянию мд точками соотв. этим компл. числам

Пример: |z-2|=3 – уравнение окружности +(0<argz<=1/4) +(Rez>-1 x>-1)

4. Понятие комплексной области, понятие функции комплексного переменного, понятие предела функции при . Примеры.

Пусть произвольной точке z ÎG Ì Z поставлена в соответствие точка (единственная) wÎM ÌW

( Z,W - две комплексных плоскости) по некоторому закону w = f (z). Тогда говорят, что определена функция комплексной переменной с областью определения G и областью значений в множестве M (или задано отображение области G Ì Z в область M ÌW ).

Комплексное число w = f (z), как всякое комплексное число, имеет действительную и мнимую части w = f (z) = u(x, y)+ iv(x, y). Это – действительная u(x, y) = Re f (z) и мнимая v(x, y) = Im f (z) части функции.

Пример. Выделим действительную и мнимую части функции f (z) = e z .

ez = ex+iy = e xeiy = ex (cos y + i sin y) = ex cos y + ie x sin y, u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y

5. Основные элементарные функции комплексного переменного.

1.Показательная функция   e^z = e^x (cos y + i sin y).

Из определения показательной функции следует, что она не обращается в нуль ни при какомz . Функция e^z обладает периодом , так как при изменении z на значение функции не изменяется. Действительно, 

.

2.Логарифмическая функция –  функция, обратная показательной.

        Если значение логарифма, равное l n | z |  + i  аrg z , назвать главным значением и обозначить его l n  z  , то для Ln z будем иметь

, где k  = 0, ± 1, ± z , … . Отсюда следует, что каждое комплексное число, отличное от нуля и бесконечности, имеет бесконечное множество логарифмов (то есть значений логарифмической функции), из которых любые два различаются на целое, кратное .

3.Тригонометрические функции

Из определения тригонометрических функций вытекает, что cos z  –  чётная функция, а sin z  –  нечётная функция, так как

4.Гиперболические функции

Из сравнения их с тригонометрическими функциями следует, что между тригонометрическими и гиперболическими функциями существуют следующие соотношения: ch z  = cos(i z), sh z  = - i sin (i z), th z  = - i  tg (i z ), cth z  = i  ctg (i z).

Отсюда, в частности, вытекает, что

ch2 z - sh2 z = [cos(iz)]² +   [sin(iz)]² = 1.

5.Степенные

является многозначной функцией ^_ каждому значению аргумента отвечает n различных значений корня.

, aC.

6. Понятие производной функции комплексного переменного в точке. Понятия дифференцируемой и аналитической функции в точке и в области. Пример.

Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной

Теорема. Для того, чтобы функция f (z) была дифференцируема в точке 0 z , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке

Функция f(z) называется аналитической в (.)z , если она диф. Как в точке z, так и в некоторой её окрестности.

Функция называется аналитической в области, если она дифференцируема в области.