4. Показатели вариации

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два ряда распределения, имеющие одинаковую среднюю арифметическую величину, могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого признака. Если индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга, то средняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой данной совокупности. Если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений признака, то средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой данной совокупности и не будет иметь практического значения.

Колеблемость отдельных значений признака характеризуют показатели вариации. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

1. Абсолютные и средние показатели вариации, способы их расчета

Размах колебаний или размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

R = X max – X min. (4.1)

Точнее характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете колеблемости всех значений признака. Поскольку средняя арифметическая является обобщающей характеристикой совокупности, то большинство показателей вариации основано на рассмотрении отклонений значений признака от этой величины.

Дисперсия – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины. Дисперсия может рассчитываться по следующим формулам:

или D = σ², (4.2)

. (4.3)

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить ее вычисления:

1. дисперсия постоянной величины равна нулю;

2. если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число (А), то дисперсия не уменьшится;

3. если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (К раз), то дисперсия уменьшится в К² раз.

2. Определение дисперсии способом моментов или методом отсчета от условного нуля

, (4.4)

где А – центр распределения;

К – величина интервала.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

. (4.5)

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней арифметической. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая величина отражает собой всю представляемую совокупность.

Размах вариации и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Наиболее широко применяемые показатели вариации – дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем, служащих фундаментом математической статистики. Также дисперсия используется при построении корреляционной связи и т. д.

3. Показатели относительного рассеивания

Для характеристики колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (разные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при отличающихся значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляется как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической величине, умноженное на 100%.

Коэффициент осцилляции: .

Данный показатель отражает относительную колеблемость признака вокруг средней арифметической.

Коэффициент вариации: .

Наиболее часто применяемый показатель – коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.