Задачи для самостоятельного решения

1. Для определения среднего возраста 1200 студентов факультета необходимо провести выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста студентов равно 10 годам. Сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года?

2. В коммерческом банке 160 персональных компьютеров 4 типов, в том числе I типа - 32, II типа - 48, III типа - 64, IV - 16. В целях изучения эффективности их использования предполагается организовать выборочное обследование на основе типической пропорциональной выборки. Отбор внутри типов ПЭВМ механический. Какое количество компьютеров каждого типа необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 5 единиц ПЭВМ? По материалам предыдущего обследования известно, что дисперсия типической выборки равна 729.

3. Какое количество деталей необходимо отобрать из партии в 2000 штук, чтобы оценить качество продукции с предельной ошибкой в оценке доли деталей, не соответствующих стандарту, не превышающей 0,2% с вероятностью 0,954, если по данным предыдущей проверки доля нестандартной продукции составила 1,5%?

Лабораторная работа №4 Нормальное распределение. Критерии согласия

1. Построение нормального распределения по эмпирическим данным

Имея дело с эмпирическим распределением, можно предположить, что данному распределению соответствует определенная, характерная для него теоретическая кривая. Выдвинув гипотезу о той или иной форме распределения, стремятся описать эмпирический ряд с помощью математической модели, выражающей некоторый теоретический закон распределения. Среди различных кривых распределения особое место занимает нормальное распределение.

Нормальным N(,) называют распределение непрерывной случайной величины x, если ее плотность распределения выражается формулой - НОРМРАСП(x, , , ложь),

где x – значение изучаемого признака

Или

Интегральная функция непрерывной случайной величины распределенной нормально:

-

НОРМРАСП(x, , , истина)= НОРМСТРАСП(НОРМАЛИЗАЦИЯ(x, , ))

Стандартное нормальное распределение N(0,1) при =1, =0

Плотность (дифференциальная функция)

- НОРМРАСП(x, 0, 1, ложь)

Интегральная функция

НОРМСТРАСП(x)= НОРМРАСП(x, 0, 1, истина)

2. Критерии согласия

Все предположения о характере того или иного распределения – это гипотезы, а не категорические утверждения. Поэтому должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью показателей, которые называют критериями согласия.

Для установления теоретического закона распределения нужно определить:

1. вид закона распределения (определяется из теоретических предпосылок, опыта аналогичных предшествующих исследований, или на основании графического изображения эмпирического распределения)

2. параметры распределения (их заменяют наилучшими оценками по выборке)

Но, как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между ним и эмпирическим распределением неизбежны расхождения.

Задача: определить, являются ли эти расхождения существенными (неслучайными), и теоретический закон распределения выбран неудачно, или расхождения несущественны, связаны лишь со случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений.

Для решения этой задачи используются случайные величины с известными законами распределения, называемые критерии согласия.

Рассмотрим три из них:

• Критерий Пирсона ()

• Критерий Романовского (С)

• Критерий Колмогорова ()

Алгоритм решения задачи

Проверяется гипотеза Н₀: эмпирическое распределение подчиняется определенному теоретическому закону распределения.

Для этого выбирается случайная величина U (критерий согласия), характеризующая степень расхождения теоретического и эмпирического распределений. Закон распределения U при больших n известен и не зависит от эмпирического закона распределения.

1. найти u_набл. – фактически наблюдаемое в опыте расхождение теоретических и эмпирических распределений

2. зная закон распределения U, найти вероятность P(U>=u_набл.)= по таблице распределения

3. вывод: если  мала, то H₀ отвергают, т. е. отклонения от теоретического закона распределения большие, чем полученные в опыте, практически невозможны. Следовательно, закон распределения для X выбран не верно. Если  не мала, то H₀ можно считать правдоподобной, т. е. не противоречащей опытным данным. Следовательно, расхождение между эмпирическими и теоретическими распределениями несущественно.