14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств

Логарифмическим неравенством называется такое неравенство, в котором неизвестная величина содержится или под знаком логарифма, или в его основании.

Особенностью решения логарифмических неравенств является учет ОДЗ входящих в него логарифмов. В отличие от логарифмических уравнений, условия, определяющие ОДЗ, целесообразно записывать вместе с решением в одной системе, так как в ходе решения некоторые условия на ОДЗ учитываются сразу. Необходимо внимательно следить за величиной основания логарифма, так как при положительном основании логарифма, которое меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.

I тип: неравенство вида: (5) где a > 0.

1. Если 0 < a < 1, то неравенство (5) равносильно системе (6)

2. Если a > 1, то неравенство (5) равносильно системе

Заметим, что в этом случае первое неравенство системы (6) можно не решать, так как во втором неравенстве (7)

Решение неравенства (7) сводится к решению совокупности двух систем:

Неравенство f(x) > 0 во второй системе можно не решать, так как оно справедливо при выполнении двух других неравенств этой системы.

II тип: неравенство вида: (8)

1. Если 0 < a < 1, то неравенство (8) равносильно системе(9)

Неравенство g(x) > 0 в системе (9) можно не решать, так как оно выполняется при условии выполнения двух других неравенств этой системы.

2. Если то неравенство (8) равносильно системе (10)

Неравенство в системе (10) можно не решать. (11)

Поскольку в основании содержится переменная величина, то в общем случае решение неравенства (11) зависит от величины основания по сравнению с числом 1. Поэтому решаем совокупность двух систем:

III тип: неравенство вида (12), где F – некоторое выражение относительно

Необходимо заменить и решить неравенство F(y) > 0. Полученные в качестве решения последнего неравенства промежутки записывают в виде неравенств относительно y, а затем возвращаются к старой переменной.

Аналогично решают неравенства I – III типов, в которых вместо знака

> использованы знаки , <, .

15. Основные методы решения тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения

1. Уравнение (1). Если то уравнение (1) решений не имеет, так как

Если то уравнение имеет решение, которое находят по формуле (2)

Частные случаи уравнения (1): уравнение решение

уравнение решение уравнение решение

2. Уравнение (3). Если то уравнение решений не имеет, так как

Если то уравнение (3) имеет решение, которое находят по формуле (4)

Частные случаи уравнения (3): уравнение решение

уравнение решение уравнение решение

3. Уравнение (5). Решение уравнения (5) находят по формуле

(6). 4. Уравнение (7)

Решение уравнения (7) находят по формуле (8)

Основной путь решения тригонометрических уравнений обычно состоит в приведении этого уравнения к алгебраическому уравнению относительно одной тригонометрической функции одного аргумента. При этом широко используются формулы тождественных преобразований тригонометрических функций.

Метод замены переменных – один из основных при решении тригонометрических уравнений и может применяться как сам по себе, так и в сочетании с другими методами на одном из этапов решения.

Метод разложения на множители заключается в переносе всех слагаемых в одну часть уравнения и разложении ее на множители. После этого уравнение распадается на совокупность нескольких более простых уравнений.

Уравнения вида и т.п. решаются на основании следующих равносильностей, вытекающих из определения тригонометрических функций и решений простейших тригонометрических уравнений (здесь ):

; ;

Уравнения вида , , сводятся к квадратному уравнению заменой и соответственно.

Уравнения вида , с помощью формулы предварительно приводятся к квадратному уравнению относительно или соответственно.

Уравнение вида после применения формулы и замены сводится к квадратному уравнению.

Уравнение вида заменой сводится к алгебраическому уравнению -й степени. Аналогично решаются подобные уравнения вида, где вместо синуса записаны или .

Уравнение вида где , действительные числа, называется однородным уравнением -й степени относительно и .

Так как корни уравнений и не являются корнями этого уравнения, то делением на или его можно привести к алгебраическому уравнению относительно или .

Уравнение вида сводится к однородному уравнению с помощью формул , , .

Уравнение вида , где – действительные числа, причем , можно решить введением вспомогательного аргумента: .

Другие способы решения уравнения :

1) с помощью формул синуса и косинуса двойного угла это уравнение можно привести к однородному уравнению, которое затем сводится к квадратному относительно

2) возведением уравнения в квадрат, при этом имеет место равносильность

Уравнения вида , , где рациональная функция. Поскольку имеет место тождество , подстановкой (тогда , где «+» соответствует подстановке и «–» – подстановке ) данное уравнение можно свести к рациональному уравнению относительно .

Метод понижения степени состоит в использовании формул понижения степени тригонометрических функций с помощью формул , , , .

Метод преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. После применения формул преобразования суммы в произведение уравнение иногда удается либо разложить на множители, либо существенно упростить.

Метод преобразования произведения тригонометрических функций в сумму заключается в применении формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумм. После их применения уравнение либо удается либо разложить на множители, либо существенно упростить.

Метод универсальной подстановки. Уравнения вида , где рациональная функция, , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно привести к рациональному уравнению относительно . После этого с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

; ; ;

исходное уравнение может быть сведено к рациональному уравнению относительно переменной .

Метод подстановки , которая часто используется при решении уравнений, содержащих и . При этом другие тригонометрические функции выражаются через по формулам

, , где .

В результате исходное уравнение может быть сведено к рациональному относительно переменной .

Функциональные методы решения. Если уравнение не удается свести с помощью различных преобразований к уравнению того или иного стандартного вида, для которого известен определенный метод решения, может оказаться полезным использование таких свойств функций и , как ограниченность, монотонность, четность, периодичность и др.