3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Геометрический смысл модуля: – расстояние от точки 0 до точки на числовой прямой. Модуль называют еще абсолютной величиной.

Аналитически его определяют так: .

Если под знаком модуля стоит неотрицательное выражение, то знак модуля можно опустить и выражение, стоящее под знаком модуля, записать без изменения.

Если под знаком модуля стоит отрицательное выражение, то знак опустив модуля, выражение, стоящее под знаком модуля, взять в скобки и перед ним поставить знак «минус».

Основные свойства модуля:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. .

Используя геометрический смысл модуля и его определение получают способы решения уравнений с модулем.

I тип уравнений

, где число (1), Рассмотрим частный случай:

1. если , то решений нет;

2. если , то единственное решение ;

3. если , то геометрически это означает, что надо найти такие точки на числовой оси, которые находятся на расстоянии в масштабных единиц от точки 0.

Таких точек две. Т.о. при решением является совокупность .

Вернемся к уравнению (1). Наиболее рационально его решать таким же подходом. Т.е.

1. если , то решений нет;

2. если , решаем уравнение ;

3. если , решаем совокупность уравнений:.

II тип уравнений

(2), где некоторые выражения с переменной.

Решать это уравнение можно несколькими способами:

1–й способ – используя определение модуля:

2–й способ – используя подход как к уравнениям I типа:

Замечание: 1–й и 2–й способ в решении таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое неравенство или решается легче.

3–й способ – метод интервалов:

1) находим критические точки: ;

2) наносим полученные значения на числовую ось ;

3) определяем знаки для каждого из полученных интервалов;

4) рисуем кривую знаков;

5) решаем уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) ОДЗ. Если это не вся числовая ось, учитываем сразу на рисунке после того как нарисовали кривую знаков.

III тип уравнений

Уравнения содержат несколько модулей: , (3), где .

1–й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.

2–й способ – метод интервалов: рисуем столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении.

IV тип уравнений

, (4), где .

1–й способ – решаем совокупность уравнений: .

2–й способ – метод интервалов.

3–й способ – используя теорему равносильности: если обе части уравнения , где при всех значениях из области определения, возвести в одну и ту же натуральную степень , то получится уравнение , равносильное данному.

Это значит, что корни те же или оба не имеют корней.

Поэтому уравнение (4) равносильно уравнению:

Далее используем свойство квадрата модуля:

V тип уравнений

Это уравнения, решаемые заменой переменной. Например: , (5)

Вводим замену . Решаем квадратное уравнение относительно новой переменной. Затем, возвращаясь к замене, получаем совокупность уравнений I–го типа: .