- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2.A. Колца, поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца. Два крытэры падполя.
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
- •8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.
- •16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
Азн.1: Няхай n N, a,b Z. Будзем казаць, што a параўнальны з b па модулі n, калі n дзеліць (a-b), г.зн. (a-b) дзеліцца на n. Запісваецца a b(mod n).
Уласцівасці парананняў:
;
2) ;
3) ;
;
Сцв.1: Цэлыя лікі a,b Z, к.і т.к. яны маюць роўныя астачы пры дзяленні на n.
Вызначым на мностве аперацыі складання і множання формуламі:
Тэарэма 1: Мноства у дачыненні да аперацыяў (1) ёсць камутатыўнае колца з адзінкаю.
Колца наз. колцам рэштаў па модулі n.
Тэарэма 2: абарачальны ў к.і т.к. узаемна простыя.
Вынік: ёсць поле к.і т.к. - просты лік.
4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
Азн.1: Падколца I колца K наз. двухбаковым ідэалам колца K, калі: .
Тэарэма 1(крытэр ідэалу): Непустое падмноства поле з’яўл. ідэалам колца K к.і т.к. яно задавальняе наступным умовам:
.
Тэарэма вынікае з азн. ідэалу і другога крытэру падколца.
Прыклады:
1) Няхай n фіксаваны цэлы лік, абазначым праз
;
2) У адвольным колцы : (0) , .
Сцв.1: Няхай - колца з адзінкай і I змяшчае абарачальны элемент колца К, тады I=K.
Тэарэма2: У полі F адзінымі ідэаламі з’яўл. (0), F -трывіяльныя, а ўсе астатнія не трывіяльныя.
Азн.2: Камутатыўнае колца з 1 ≠0, у якім кожны ідэал галоўны, наз. колцам галоўных ідэалаў.
Тэарэма 3: Колца цэлых лікаў Z ёсць колца галоўных ідэалаў.
Тэарэма 4: Няхай F – адвольнае поле, колца паліномаў F[x] ёсць колца галоўных ідэалаў.
Тэарэма 5: Колца рэштаў з – колца галоўных ідэалаў
Сцв.2: Ідэал (n) колца Z максімальны ў Z к.і т.к. n – просты лік.
8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
Азн.1: Няхай K, R – колцы. Біекцыйнае адлюстраванне наз. ізамарфізмам колца K на колца R, калі
, .
Калі існуе некаторы ізамарфізмам , будзем казаць, што колца K ізаморфнае колцу R, і пісаць .
Ізамарфізм колца K на сябе наз. аўтамарфізмам колца K.
Уласцівасці ізамарфізмаў колцаў:
Для адвольнага колца K тоеснае адлюстраванне ёсць ізамарфізм, г.зн. .
Калі - ізамарфізм колца K на колца R, тады – таксама ізамарфізм. , тады .
Калі , – ізамарфізмы колцаў, тады – ізамарфізм. , .
Прыклады:
Адлюстраванне такое, што – ізамарфізм.
Няхай – ізамарфізм колцаў, 1- адзінка колца K. Тады - адзінка колца R.
Азн.2: Адлюстраванне наз. гомамарфізмам колцаў, калі
, .
Такім чынам, ізамарфізм –гэта біекцыйны гомамарфізмам.
Адвольны гомамарфізм колцаў ёсць ізамарфізм.
Прыклады:
Няхай K і R – адвольныя колцы, 0’ - нуль колца R.
Адлюстраванне , - гомамарфізм. Гэты гомамарфізм наз.нулявым.
К – падколца колца R, i(a)=a, a - гомамарфізм колцаў, і - укладанне К у R.
Уласцівасці гомамарфізмаў колцаў:
Няхай – гомамарфізм колцаў, тады:
Калі 0 – нуль колца K, а 0’ - нуль колца R, тады ;
;
Калі – падколца колца K, тады – падколца колца K, - вобраз мноства: ;
Калі – падколца колца R, тады – падколца колца K, - поўны правобраз ;
;
Калі - гомамарфізм, тады: - гомамарфізм.
Азн.3: Няхай : K→R гомарфізм 0’-нуль R, поўны правобраз нуля -1(0’)={аєК| (a) є 0’}= Ker наз. ядром .
Тэарэма1: Ядро гомамарфізму колцаў ёсць ідэал колца K.
Тэарэма2(пра гомамарфізмы колцаў). Няхай : K→R гомамарфізм колцаў тады Im Ker.