- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2.A. Колца, поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца. Два крытэры падполя.
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
- •8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.
- •16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
К - камутатыўнае колца з адзінкай.
Азн.1: Паліном f(x1,…,xn) K[x1,…,xn] наз сіметрычным, калі ён не змяняецца пры перастаўленне двух зменных
f(x1,…,xi,…,xj,…,xn)=f(x1,…,xi-1,xj,xi,…,xj-1,xi,xj,..,xn) 1=<i<j=<n.
Тэарэма1: Мноства ўсіх сіметрычных паліномаў з К[x1,…,xn] ёсць падколца колца К[x1,…,xn].
Тэарэма2: Палиномы
σ1=х1+х2+..+xn
σ2=х1 х2+х1 х3+..+ х1xn+ х2 х3+…+ хn-1 хn
σ3=х1 х2 х3+х1 х2х4+….+ хn-2 хn-1 хn
……………….
σn=х1 х2…хn
называюцца элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n зменных.
Коэфіцыенты паліномаў ад адной зменных = элементарных сіметрычным паліномаў ад каранёў гэтага паліномаў са знакам “+” ці “--” наз формулы Віета.
Тэарэма1(Пра сіметрычны паліном): Няхай К - камутатыўнае колца з адзінкай. Для адвольнага сіметрычнага паліному f(x1,…,xn) K[x1,…,xn] існуе адзіны паліном g(x1,…,xn) K[x1,…,xn] такі,што f(x1,…,xn)= g(ɓ1(x1,…,xn), ɓ2(x1,…,xn),…,ɓn(x1,…,xn)).
28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
Азн.1: Функцыя такая, што ёсць колькасць лікаў з шэрагу 1,2,3,…, n, узаемна простых з n, наз. функцыяй Ойлера.
Тэарэма1: Функцыя Ойлера мультыплікатыўная, г.зн. калі (a,b)=1, тады
Тэарэма2: Калі n= - кананічны расклад ліку n, тады
Тэарэма3 (Ойлера): Няхай m – натуральны лік, - цэлы лік. Калі (a, m)=1, тады аφ(m)=1(mod m).
Тэарэма4 (Малая тэарэма Фэрма): Калі - цэлы лік, р -просты лік, тады ар а(mod p)
Тэарэма5(Вільсана): Для адвольнага простага р
(р-1)! -1(mod p)
30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
Няхай Р – поле, f(x) P[x], deg f(x)>0, няхай f(x) нямае караеёў у поле Р.
Тэарэма1(пра існаванне кораня): Для адвольнага поля Р і адвольнага паліному ненулявой ступені f(x) P[x]. Існуе пашырэнне поля Р, у якім ёсць прынамсі адзін корань паліному f(x).
Вынік: Існуе пашырэнне поля Р, у якім паліном f(x) раскладаецца на лінейныя множнікі.
Вынік ’: Існуе пашырэнне F Р, у якім f(x) мае n – каранёў, калі кожны корань лічыць столькі разоў, якая ягоная кратнасць (n=deg f(x)).
α1,α2,…, αn F, f(αi)=0, i=1,…,n
P(α1,α2,…, αn) называецца полем раскладу f(x) над P.
Тэарэма2: Для адвольнага паліному ненулявой ступені над полем P існуе поле раскладу.
Вынік: Няхай F, – палі раскладу паліному f(x) P[x] ненулявой ступені. Тады F і Р-ізаморфныя.