- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2.A. Колца, поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца. Два крытэры падполя.
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
- •8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.
- •16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
Няхай непустое мноства. Мноства усіх біекцыяў ёсць группа ў дачыненні да аперацыі множання адлюстраванняў , для - сіметрычная група мноства .
Яе элементы наз. падстановамі мноства .
Калі - канцоўнае мноства прадку n, тады таксама абазначаюць і наз. сіметрычная група ступені n.
Падстанову абазначым . З таго, што - падстанова, г.зн. біекцыя вынікае – перастаўленне лікаў 1,2,…,n. Значыць лікі 1,2,…,n сустракаюцца адзін і толькі aдзін раз.
Тэарэма1: Парадак групы роўны n! .
Азн.1: Падстановы наз. незалежнымі, калі
.
Азн.2: Няхай - падстанова з k элементаў мноства = . Падстанова
дзе , наз. цыклам даўжыні k.
Азн.3: Цыклы ( ) і ( ) наз. незалежнымі ці неперасякальнымі, калі . Незалежныя цыклы перастановачныя.
Тэарэма2: Адвольная падстанова раскладаецца ў здабытак незалежных цыклаў даўжыні, больш за 1. Гэты расклад адназначны з дакладнасцю да парадку сумножніка.
Вынік1: Парадак падстановы роўны найменшаму супольнаму кратнаму даўжыняў незалежных цыклаў, якія ўваходзяць у расклад .
Азн.4: Цыкл даўжыні 2 наз. транспазіцыяй.
Вынік2: Кожная падстанова з раскладаецца ў здабытак транспазіцыяў.
Азн.5: Функцыя f(x1,x2,…,xn), вызначаная на камутатыўным колцы, наз. косасіметрычнай, калі r f=-f для адвольнай транспазіцыі r .
Лема: Няхай . Тады .
Тэарэма3: Няхай , – некаторы расклад у здабытак транспазіцыяў. Тады цотнасць ліку k цалкам вызначаецца падстановай і не залежыць ад раскладу .
Азн.6: Падстанова наз. цотнай, калі яна раскладацца ў здабытак цотнай колькасці транспазіцыяў, і няцотнай, калі яна раскладаецца ў здабытак няцотнай колькасці транспазіцыяў.
Вынік: Усе цотныя падстановы ступені складаюць падгрупу групы парадку .
Група наз. зменназнакавай групай ступені n.
18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
Азн.1: Няхай G і - групы з аперацыямі • і * адпаведна. Біекцыйнае адлюстраванне наз. ізамарфізмам групы G у групу , калі для адвольных элементаў . (1)
Калі існуе некаторы ізамарфізм , будзем казаць, што група ізаморфная групе і пісаць .
Аперацыя ў G і наз. множаннем і замест (1) будзем пісаць: .
Уласцівасці ізамарфізмаў групаў:
Для адвольнай групы G тоеснае адлюстраванне – ізамарфізм;
Калі - ізамарфізм групаў, тады – таксама ізамарфізм;
Калі , - ізамарфізмы групаў, тады – таксама ізамарфізм.
З гэтых уласцівасцей вынікае, што дачыненне ізамарфізмаў ёсць дачыненне эквівалентнасці на мностве ўсіх групаў і таму мноства ўсіх групаў падзяляецца на неперасякальныя класы ізаморфных паміж сабой групай.
Азн.2: Ізамарфізм групы на сябе наз. аўтамарфізмам групы .
Тэарэма1: Aut G – група ў дачыненні да аперацыі множання аўтамарфізмаў.
Тэарэма2: 1) Адвольная бясконцая цыклічная група ізаморфная адытыўнай групе цэлых лікаў Z;
2) Адвольная канцоўная цыклічная група парадку n ізаморфная C(n) камплексных каранёў ступені n з 1.
Тэарэма3(Кэлі): Адвольная канцоўная група парадку n ізаморфная некаторай падгрупе сіметрычнай групы Sn.
Вынік: З дакладнасцю да ізамарфізму існуе толькі канцоўная колькасць групаў фіксаванага парадку n.
Прыклады:
1) Разгледзім групу Z у дачыненні да складання і групу цотных лікаў – (2) і вызначым адлюстраванне : відавочна - біекцыя.
Пакажам, што захоўвае аперацыю: значыць - ізамарфізм групаў .
2) Разгледзім адытыўную групу C і адытыўную групу матрыцаў . Вызначым адлюстраванне : - ізамарфізм групаў.