Задачи для самостоятельной работы
1. Построить поле направлений для дифференциальных уравнений:
а)
б) (построить изоклины1 ). Провести интегральные кривые через точки (0,0), (0,1), (1,0).
в) ; г) ; д) .
Найти уравнение движения точки, падающей с высоты h без начальной скорости.
Найти уравнение движения точки, брошенной вверх со скоростью v. Через сколько времени точка достигнет наивысшего положения?
Найти дифференциальное уравнение софокусных эллипсов с заданным фокусным расстоянием 2с.
Указание. Уравнение семейства , где a - произвольный параметр, дифференцируем по х, после сокращений имеем: . Исключив из этих двух уравнений а2, получим искомое уравнение первого порядка.
Ответ: .
6*. Найти уравнение всех кругов на плоскости.
Указание. Дифференцируя трижды уравнение окружности и исключая параметры a, b, r, получим искомое уравнение.
Ответ. .
7*. Найти дифференциальное уравнение всех конических сечений.
Указание. Уравнение конических сечений имеет вид:
.
Ответ. .
8*. Вывести дифференциальное уравнение конических сечений, у которых а22 = 0. Каково геометрическое семейство этих кривых? (Рассмотреть два случая ).
Ответ. . Если кривые гиперболы с вертикальной асимптотой, - параболы.
9. Доказать невыполнимость теоремы 1.1 для уравнения .
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение
, (6)
где h(y) отлична от нуля всюду на области В, g(x) - определена и непрерывна в В называется уравнением с разделяющимися переменными. Деля обе части на h(y) и умножая на dx, получим равенство двух дифференциалов
. (7)
Из равенства дифференциалов следует, что их неопределенные интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым,
. (8)
Уравнение, записанное в виде
, (9)
допускающие выбор в качестве неизвестной функции как у, так и х, решается методом разделения переменных. Общий интеграл уравнения (9) имеет вид
. (10)
Пример 1. Решить уравнение
.
Интегрируем его для у 3
.
Его решение представляет собой функцию
.
Прямая у = 3 - частное решение. С учетом проведенных рассуждений общее решение можно переписать в виде
.
Если в уравнении (6) g(х) разрывна в некоторой точке х = и обращается в бесконечность именно в этой точке, а во всех других точках заданной области непрерывна, то решение (8) соответствует общему решению в каждой точке множества . В точках (, у) решение определяется из перевернутого уравнения
и присоединяется к решению уравнения (6).
Это решение может оказаться особым, если в каждой его точке нарушается единственность или если единственность сохраняется во всех точках этого решения, то оно является частным.
Пример 2. Уравнение при правая часть определена и непрерывна, поэтому формула
дает общее решение. Прямые является решением перевернутого уравнения
,
причем частным решением и асимптотами общего решения исходного уравнения.