§ 3. Однородные уравнения

Функция f(x,y) называется однородной степени п, если справедливо равенство

. (11)

Дифференциальное уравнение называется однородным, если его правая часть - однородная функция нулевого порядка.

Однородное уравнение можно преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. Выбрав , функция f(x,y) = f(1,y/х). Сохраняя прежнюю независимую переменную х, введем новую искомую функцию u = y/х, откуда . Тогда исходное уравнение преобразуется в уравнение, допускающее разделение переменных

. (12)

Если рассмотреть преобразование подобия плоскости с центром подобия в точке (0,0):

х₁ = kx, у₁ = ky (k > 0). (13)

Это преобразование не изменит вид уравнения (12) (с учетом, что и = у/х), то есть преобразование (13) не меняет всей совокупности решений уравнения. Таким образом, все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат.

Дифференциальные уравнения вида

(14)

приводятся к однородным уравнениям подстановкой вместо х и у новых переменных  и :

(15)

где  и  - постоянные, которые определяются так, чтобы числитель и знаменатель преобразованного уравнения не содержал свободных членов.  и  определяются из системы

(16)

Это возможно, если

. (17)

В этом случае уравнение (14) преобразуется к однородному

.

Если условие (17) не выполняется, то имеет место пропорциональность . Вводя новую функцию и вместо у в уравнение (14)

, (18)

получим уравнение с разделяющимися переменными

.

Рис. 4

М₁М

Пример 1. Найти кривые, у которых подкасательная равна сумме абсциссы и ординаты точки касания.

По условию отрезок проекции касательной АМ на ось ОХ равен АМ₁ (рис. 4). Тогда

. (19)

Точка А (х₁, 0) удовлетворяет уравнению касательной к кривой , тогда . С учетом формулы (19) получаем дифференциальное уравнение

. (20)

Полученное уравнение является однородным. Введя новую переменную z = x/у, получаем уравнение с разделяющимися переменными . Интегрируя обе части равенства, получим ln Су = z. Возвращаясь к прежней переменной, получим решение

.

Пример 2. Решить уравнение

.

Так как определитель правой части отличен от нуля, то чтобы свести уравнение к однородному, перенесем начало координат в точку с координатами (,), то есть заменим . Подставляя в исходное уравнение, получим

. (21)

Подбираем числа  и  так, чтобы

(22)

Это возможно, т.к. определитель системы (22) отличен от нуля  = -1,  = 0.

Пусть и = / и , тогда (21) примет вид

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

С учетом вновь введенных переменных общее решение уравнения перепишем так:

.

Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой (число m заранее неизвестно). Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену переменной

и потребовать, чтобы уравнение стало однородным. Это не всегда возможно, т.к. на одно число m составляется переопределенная система.

Если же такого m найти нельзя, то уравнение не приводится к однородному.

Пример 3. Приведем уравнение к однородному. После замены получаем уравнение вида: