29) Теорема о производной сложной функции.

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, а x=g(t) дифференцируема в точке t, то функция y=f(g(t)) дифференцируема в точке t и y'=f '(x)*g'(t);

= f '(x)*g'(t);

Доказательство:

По определению производной, используя теорему о пределе произведения, имеем

y'= = = *

В силу непрерывности дифференцируемой функции при по определению непрерывности приращение

y'= = f '(x)*g'(t), где x=g(t);

Теорема доказана.

30) Теорема о производной обратной функции.

Пусть f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] и пусть в точке из (a;b) существует f '( )≠0, тогда:

Обратная функция имеет производную в точке

(x= ) = ;

Доказательство:

Пусть функция строго возрастающая, тогда на [f(a);f(b)] обратная функция строго монотонно возрастающая.

Пусть =f( ), y=f(x), ∆x=x- , ∆y=y- .

Так как функция непрерывна, то на ∆y0 (следует что и ∆x0) = ; Переходя к пределам получаем требуемое равенство. Теорема доказана.

31. Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.

Логарифмическое дифференцирование

Производная показательно-степенной функции.

f(x)=x^x

31. Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.

Дифференциал функции

∆f(x)-f(x₀)=A(x-x₀)+o(x-x₀); x→x₀

A(x-x₀)-главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом.

df(x₀)=f’(x₀)∆x=A∆х зависит от х₀ и от ∆х

дифференциал независимой переменной равен dx=∆х

dy=y’dx⇒ y’=dy/dx

геометрический смысл-приращение ординаты к касательной.

СВОЙСТВА

1. d(U+V)=dU+dV

2. d(UV)=UdV+VdU

3. d(U/V)=(VdU-UdV)/V²

4. dⁿ(U+V)=dⁿU+dⁿ V

5.