31. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.

Пусть в точке , и существует и непрерывна в некоторой окрестности точки , тогда:

Теорема: Если производная равна нулю, то функция имеет в точке максимум, если и имеет минимум, если , если , то это неопределенность.

Доказательство: Пусть производная равна нулю, а т.к. непрерывна, то будет меньше нуля и в некоторой малой окрестности точки при переходе через точку меняет знак с плюса на минус:

, т.е. в точке максимум, что требовалось доказать.

Для минимума аналогично.

31. Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).

Опр: кривая обращена выпуклостью вверх, если все её точки лежат ниже касательной к ней (выпуклость вниз наоборот).

Т: Если во всех точках интервала вторая производная отрицательна, то график – выпуклая кривая.

Док-во: Пусть x₀Є(a,b)

Y=f(x);

Уравнение касательной f(x₀)=f’(x₀)(x- x₀); y-y_k=f(x)- f(x₀)- f’(x₀)(x- x₀);

По т. Лангранджа ϒ f(x)- f(x₀): y-y_k =f’(c)(x- x₀)- f’(x₀)(x-x₀) x₀<c<x;

y-y_k =(x- x₀)(f’(c)- f’(x₀))

По т. Лангранджа для f’(c)- f’(x₀): y-y_k=f’’(c₁)(c-x₀)(x-x₀) x₀<c₁<c

Пусть x>x₀ |=> x₀< c₁<c<x;

Т.к. x-x₀>0 c-x₀>0 и по условию f’’(c₁)<0, то y-y_k <0 чтд.

44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.

Точка, отделяющая выгнутую часть от вогнутой – точка перегиба. В т. Перегиба касательная пересекает кривую графика функции.

Т:Пусть кривая определяется уравнением f(x)=y, если f’’(a)=0 или f’’(a) не сущ. И при переходе через эту точку вторая производная меняет знак, то т. – точка перегиба.

Док-во:

1. Пусть f’(x)<0 при x<aи f’(x)>0 при x>a, тогда при x<a кривая выгнута, x>a кривая вогнута;

2. Пусть f’’(x)>0 при x<b и f’’(x)<0 при x>b, тогда при x<b кривая обращена выпуклостью вниз, при x>b – выпуклостью вверх => т. перегиба