- •1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
- •2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
- •3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
- •4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
- •5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
- •6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
- •Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
- •Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
- •Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
- •Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
- •Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
- •Теорема Больцано - Вейерштрасса.
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
- •Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
- •Теорема о пределе ограниченной функции.
- •18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
- •21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
- •Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
- •23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
- •25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
- •27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
- •Производные основных элементарных функций (вывод).
- •29) Теорема о производной сложной функции.
- •30) Теорема о производной обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
- •Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
- •Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
- •Формула Тейлора (доказательство).
- •Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
- •Теорема (правило) Лопиталя.
- •Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- •Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
- •Теорема (необходимое условие существования экстремума).
- •Теорема (достаточные условия существования экстремума).
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- •Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
- •Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
- •44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
- •49. Интегрирование элементарных дробей.
- •50. Интегрирование рациональных функций.
- •51. Интегрирование тригонометрических функций.
25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
непрерывность обратной следует из критерия непрерывности функции.
Критерий: Для того чтобы монотонная функция f(x) определённая на отрезке [a;b] была непрерывна на этом отрезке, необходимо и достаточно чтобы множество значений функции заполняло целиком отрезок [f(a);f(b)] или [f(b);f(a)].
Теорема о существовании обратной функции у монотонной:
Если обратная функция строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна на [a,b] тогда на [f(a),f(b)] ∃f-1(y)=x которая тоже там непрерывна на [f(a),f(b)].
Док-во:существование f(x) следует из строгой монотонности этой функции
непрерывность обратной функции следует из критерия непрерывности функции ЧТД.
26. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
функция f(x) определена на Х называется равномерно непрерывной на этом множестве если ∀ ε>0 ∃δ>0 ;∀ х’ :x’’∈ Х: |x’-x’’|<f⇒|f(x’)-f(x’’)|<ε
Равномерная непрерывная функция на множестве будет непрерывной, обратное не верно.
Теорема Кантора: ∀ непрерывная на отрезке [a,b] функция будет равномерно непрерывной на этом отрезке.
Док-во: от противного. ∀ ε>0 ∃δ>0 ;∀ х’ :x’’∈ Х: |x’-x’’|<f⇒|f(x’)-f(x’’)|≥ε
для∆=1/n ∃Un,Vn: |Un=Vn|<1/n : |f(Un)-f(Vn)|≥ε0 (1)
ПотеоремеБольцано – Веерштрасса∃ {Un}: limk→∞Unk=x0∈[a,b] ⇒иlimk→∞Vnk=x0
Таккакфункциянепрерывна, то⇒
limk→∞f(Unk)= limk→∞f(Vnk)=f(x0)⇒limx→∞|f(Unk)-f(Vnk)|=0⇒противоречиес (1) ЧТД.
27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
Дифференцирование функции это процесс нахождения её производной.
Опр: производная в т х0 определяется как предел
геометрическим смыслом производной являютсякоэффициент К касательной и тангенс угла наклона
tgугла наклона касательной в точке х0 к графику будет = производной функции в т х0
Правила дифференцирования (Из табл производной типа (U/V)’ или (U*V)’)
Односторонние производные:
ИЛИ
Производные основных элементарных функций (вывод).
C’=0
x’=1
f(x)=ex; f’(x)=ex
f(x)=ax; (aX)’=axln a
f(x)=lnx; f(x)=1/x ; (lnx)’=1/(e’)’=1/e’=1/x ⇒ (lnx)’=1/x
(logax)’=1/(xlna) (logax)’=1/(ay)=1/(ay lna)=1/(xlna)
(xm)’=mxm-1; x>0; xm=emlnx
(sinx)’= cosx
(cosx)’=-sinx; (cosx)’=(sin(x+п/2))’=cos (x+п/2)=-sinx
10)(tgx)’=1/cos2x; (ctgx)’=-1/cos2x
11) (arcsinx)’= ;
12) (arccosx)’=
13) (arctgx)’=1/(tgx)’=1/1/cos2x=1/1+tg2x=1/(1+x2)
14) (arcctgx)’=-1/(1+x2)
15) sh,ch (shx)’=(d/dx)*((ex-e-x)/2)=((ex-e-x)/2)=(поопр)chx