Пример:

Посчитаем якобиан при переходе от декартовых координат в полярные.

Это выражение всегда неотрицательно, поэтому можно записать:

, где

Есть одна неприятность – точка, где J обращается в ноль. Это значит, что преобразование перестает быть взаимно однозначным.

Т.е. при переходе точка преобразуется в целый отрезок.

11. Несобственные двойные интегралы

1. Интеграл по неограниченной области

=

Что значит интеграл по всей области?

Е сли функция определена и непрерывна, то можно в определенной области определить интеграл:

Затем взять более широкую область и т.д. :

Любая точка области входит в какую-нибудь из областей

Интеграл не должен зависеть от последовательности областей и должны существовать все (функция непрерывна)

Тогда мы можем посчитать интеграл по каждой области:

Если существует предел: , независящий от выбора областей, то этот предел называется несобственным интегралом по неограниченной области(1-го рода)

Рассмотрим интеграл от модуля функции:

Говорят, что сходится абсолютно, если -сходится

Р азбиваем область на куски, где

Рассмотрим областей где функция положительна и отрицательна: и :

Если -расходится => интеграл- расходится =>

И нтеграл сходится, когда

(т.е. ограничены)

Пример, когда можно вычислить однократный интеграл с помощью двойного:

Пусть

Тогда

Можем ли мы переходить в полярную систему координат?

=

При переходе в полярную СК мы рассматриваем круги радиусом .

Получается последовательность вложенных друг в друга кругов и квадратов:

Функция не отрицательна, следовательно монотонно возрастает

Последовательность кругов и квадратов эквивалентны.

Если предел последовательности квадратов, то предел последовательности кругов (и наоборот)

12. Тройной интеграл по параллелепипеду

-интеграл по параллелепипеду

=

-элементарный объем

Если существует такой предел, не зависящий от выбора точек и от способа дробления то, он и будет интегралом:

13. Классы интегрируемых функций для тройного интеграла.

Класс интегрируемых функций.

1.Непрерывные функции на интегрируемы.

Доказательство:

По теореме Кантора функция равномерно непрерывна , если она замкнуто-ограничена

колебание функции

2. Всякая ограничено-непрерывная функция на V , за исключением конечного числа линий принадлежащих это области , интегрируема по этой области.

Д оказательство:

с

Q

V

V-Q - замкнутая область

Q- открытая область

Разбиваем область

Тогда, =Q, а остальные лежат вне Q

14. Суммы д`Арбу и их свойства (для тройного интеграла)

Введем обозначение:

Раздробим объем:

Для всех точек имеем:

Интегрируем в пределах маленького элементарного объема:

Суммируем(по i,j)

Теперь по k:

Где:

= Нижняя сумма Д’Арбу( )

= Верхняя сумма Д’Арбу

_{Для непрерывных и кусочно-непрерывных и ограниченных функций:}

Тогда: :

Свойства Сумм Д’Арбу:

1. Нижняя cумма Д’Арбу не превосходит верхней суммы Д’Арбу на заданном разбиении. ;

2. Нижняя сумма Дарбу на некотором разбиении не превосходит нижней суммы Дарбу на измельчении этого разбиения. Аналогично верхняя сумма Дарбу на некотором разбиении не меньше верхней суммы Дарбу на измельчении этого разбиения.

,

3. Каковы бы ни были два разбиения одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.

,