- •4.Двойной интеграл по области. Множество меры 0.
- •1.Двойной интеграл по прямоугольнику.
- •3.Сумма Дарбу.
- •2.Класс интегрируемых функций.
- •5.Сведение двойного интеграла к повторному.
- •Пример:
- •11. Несобственные двойные интегралы
- •Интеграл по неограниченной области
- •12. Тройной интеграл по параллелепипеду
- •13. Классы интегрируемых функций для тройного интеграла.
- •14. Суммы д`Арбу и их свойства (для тройного интеграла)
- •15. Тройной интеграл по области. Множество меры "0" (кубиками).
- •Линейность
- •16. Сведение тройного интеграла к повторному.
- •18. Параметрическое задание поверхности.
- •19. Длина кривой.
- •20. Площадь поверхности.
- •21. Интегралы по поверхности.
- •22. Формула Стокса. Условия потенциальности векторного поля в пространстве.
- •2. Условия потенциальности векторного поля в пространстве.
- •23. Формула Остроградского
2. Условия потенциальности векторного поля в пространстве.
Теорема. Для того чтобы непрерывное в области , векторное поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы криволинейный интеграл
не зависел от кривой соединяющей любые две точки области.
Доказательство.
(интегрирование производится по кривой соединяющей точки и . Далее, проверяется, что — потенциал векторного поля
Определение. Область называется поверхностно односвязной, если для любого гладкого простого замкнутого контура найдется гладкая регулярная поверхность (без самопересечений) , ограниченная контуром С.
Теорема. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в поверхностно односвязной области векторное поле = было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы в области выполнялось условие
,
т.е.
Доказательство. Для доказательства достаточности рассмотрим произвольный гладкий простой замкнутый контур . Пусть — гладкая регулярная поверхность без самопересечений, ограниченная контуром С (область поверхностно односвязна). В силу формулы Грина
Далее, доказывается, что функция
(интегрирование производится по ломаной , соединяющей точки и ) является потенциалом векторного поля
23. Формула Остроградского
Пусть — внутренность простого замкнутого контура С, лежащего в плоскости
В пространстве рассмотрим замкнутую область
при
Предположим, что граница замкнутой области , состоящая из поверхностей и, быть может, части — цилиндрической поверхности с образующими, проходящими через точки контура С параллельно оси , представляет собой кусочно гладкую регулярную поверхность.
Будем говорить, что замкнутая область элементарна относительно плоскости .
Ориентируем поверхность полем единичных векторов внешних нормалей
т. е. в каждой точке поверхности выберем единичный вектор нормали, направленный во внешность замкнутой области (рисунок).
Пусть — непрерывно дифференцируемое в области векторное поле.
Теорема. Пусть замкнутая область элементарна относительно всех координатных плоскостей. Тогда имеет место формула Остроградского
(1)
где и — замкнутая область и поверхность.
Доказательство.
Так как на поверхности , то
.
Поэтому
(2)
Аналогично доказываются равенства
(3)
(4)
Складывая равенства (2), (3) н (4), получим формулу Остроградского (1). Определение. Функция
называется дивергенцией дифференцируемого векторного поля и обозначается
Если = 0, то векторное поле называется соленоидалъным.
Используя понятие дивергенции, формулу Остроградского (1) можно записать в виде
(5)
Таким образом, поток векторного поля через поверхность , ограничивающую замкнутую область , равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по замкнутой области .
Замечания. 1. Для дивергенции часто употребляется следующее символическое обозначение:
Где
2. Будем рассматривать векторное поле как стационарное поле скоростей несжимаемой жидкости, плотность которой равна 1. Тогда согласно формуле Остроградского количество жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени, равна Выбрав в качестве шар радиуса с центром в точке и воспользовавшись теоремой о среднем, в силу (5) получим
где — поверхность шара. Отсюда следует, что
Величина
называется средней плотностью источников векторного поля , находящихся в шаре .
Предел
есть плотность источников векторного поля .
Таким образом, представляет собой плотность источников векторного поля .
Если источники отсутствуют, то = 0 и в силу формулы
Остроградского , т. е. количество жидкости, втекающее в объем , равно количеству жидкости, вытекающей из него.
Гладкая кривая называется линией тока векторного поля , если
т. е. касательный вектор кривой в каждой точке равен значению векторного поля в этой точке.
Выберем простой замкнутый контур так, чтобы ни в одной точке контура С вектор не был параллелен соответствующему касательному вектору к контуру С. Через каждую точку контура С проведем линию тока векторного поля . Часть пространства, заключенная внутри поверхности Е0, составленной из линий тока, называется трубкой тока.
Поток векторного поля через любой кусок поверхности трубки тока равен нулю, так векторное ноле касается поверхности и . Отсюда следует, что поток соленоидального векторного поля через любое сечение трубки тока постоянен. В самом деле, применяя формулу Остроградского к замкнутой области, ограниченной поверхностью трубки тока и сечениями и (рисунок), получим (так как )
Т.е.
Замечания. 1. Легко видеть, что если — дважды непрерывно дифференцируемое векторное поле, то т. е. векторное поле является соленоидальным. Можно доказать, что если непрерывно дифференцируемое векторное поле соленоидально в односвязной области, то существует такое дважды непрерывно дифференцируемое векторное поле , что .
Векторное поле называется векторным потенциалом поля .
Векторный потенциал определен неоднозначно, а именно, если — векторный потенциал поля , то
где — дважды непрерывно дифференцируемая функция, также векторный потенциал. Это утверждение следует из легко проверяемого тождества:
2. Любое непрерывно дифференцируемое в ограниченной области векторное поле можно представить в виде суммы
где — (локально) потенциальное , а — соленоидальное векторные поля. Это утверждение мы также приводим здесь без доказательства.