22. Формула Стокса. Условия потенциальности векторного поля в пространстве.

1. Формула Стокса. Пусть — дважды гладкая регулярная по­верхность без самопересечений, заданная уравнением

где — односвязная область. Пусть — дважды гладкий простой замкнутый контур;

— параметрические уравнения этого контура, — замкнутая ог­раниченная область, ограниченная контуром С'. Так как область односвязна, то Без ограничения общности можно счи­тать, что при возрастании параметра контур С' проходится в по­ложительном направлении (область остается слева).

Уравнение задает простой замкну­тый контур С, лежащий на поверхности . Пусть — часть поверхности , лежащая внутри С.

Ориентируем поверхность с помощью единичного вектора нормали

Легко видеть, что при возрастании контур С проходится так, что поверхность остается слева, если смотреть с конца век­тора единичной нормали .

Так как

(система координат предполагается правой), а

, то

(1)

Будем считать, что замкнутая область такова, что можно поль­зоваться формулой Грина.

Теорема

Пусть

— непрерывно дифференцируемое на поверхности векторное поле. Тогда имеет место формула Стокса

(2)

Где и С — соответственно поверхность и контур, описанные выше.

Доказательство. Сначала вычислим поверхностный ин­теграл

В силу (1) и определения поверхностного интеграла

. (3)

Имеем следующее тождество:

где

Применяя к интегралу, стоящему в правой части равенства (3), формулу Грина, получим

(4)

Точно так же доказываются формулы

(5)

(6)

Складывая равенства (4), (5) и (6), получим формулу Стокса (2). Теорема доказана.

Определение.

Векторное поле

(7)

называется ротором дифференцируемого векторного поля и обозначается .

Замечание. Формулу (7) можно символически записать в виде

где — единичные векторы координатных осей. Поэтому употребляется следующее обозначение:

Где

Используя понятие ротора, формулу Стокса (2) можно запи­сать в виде

где

Криволинейный интеграл называется циркуляцией векторного поля по контуру С.

Таким образом, согласно формуле Стокса циркуляция вектор­ного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора вектор­ного ноля через поверхность, ограничен­ную этим контуром.

Замечание. Формула Стокса позво­ляет дать следующую физическую интерпретацию ротора векторного поля. Будем рассматривать векторное поле как стационарное поле скоростей неко­торой жидкости. Пусть — круг радиуса с центром в точке , — еди­ничный вектор нормали, С — ограничи­вающая круг окружность. Вдоль окружности , где — единичный касательный век­тор, — натуральный параметр. Поэтому

Скалярное произведение представляет собой касательную к окружности компоненту скорости. Величина

есть среднее значение касательной к окружности компоненты скорости. В силу формулы Стокса

По теореме о среднем

где * означает, что скалярное произведение вычислено в некото­рой точке круга .

Число

есть средняя угловая скорость вращения частиц жидкости вокруг нормали .

Переходя в этом равенстве к пределу при , получим

где 0 означает, что скалярное произведение вычислено в точке Таким образом, мгновенная угловая скорость враще­ния частиц жидкости вокруг нормали равна половине проек­ции вектора на вектор нормали. Максимальная угловая ско­рость получается в том случае, когда вектор нормали коллинеарен , т. е. плоскость круга ортогональна вектору .