- •Ю.Г.Плотников
- •Z гоу впо «Дальневосточный государственный
- •1. Краткие сведения из теории матриц
- •1.1. Действия над матрицами
- •1.2. Собственные числа и собственные векторы матриц
- •1.3. Полная проблема собственных значений. Метод итераций.
- •1.4. Функции матриц
- •2. Матрицы в статике сооружений
- •2.1. Матричная форма определения перемещений
- •2.2. Метод сил
- •2.3. Метод перемещений
- •3. Матрицы в теории устойчивости сооружений.
- •4. Матрицы в динамике сооружений
- •4.1. Динамический расчет систем со многими степенями свободы
- •4.2. Определение внутренних усилий
- •4.3. Примеры динамического расчета конструкций
- •5. Матрицы и метод конечных элементов
- •5.1. Статический расчет стержневых систем
- •5.2. Расчеты стержневых систем на устойчивость
- •5.3. Динамические расчеты стержневых систем
- •4. Учет внутреннего трения при колебаниях конструкций из разнородных материалов.
5.2. Расчеты стержневых систем на устойчивость
При расчетах конструкций на устойчивость используем уравнение (5.3), в котором матрица жесткости определяется так же, как при статическом расчете, а матрица геометрической жесткости вычисляется методом сложения жесткостей отдельных элементов.
Матрица геометрической жесткости для отдельного элемента (Рис.5.6)
,
где (5.10)
- компонент матрицы геометрической жесткости сжатого конечного элемента. Функции определены формулами (5.5).
Вычисляя по (5.10), (5.5) при , получаем
. (5.11)
геометрическую матрицу жесткости стержневого элемента.
Рассмотрим стойки с различными закреплениями концов (Рис. 5.7).
На Рис.5.7a изображена стойка со свободным верхним концом. На рис.5.8 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде одного конечного элемента с двумя неизвестными перемещениями свободного конца: Z1 и Z2.
Матрица жесткости для стойки вычисляется с помощью (5.7):
.
Матрица геометрической жесткости вычисляется по (5.11):
.
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
. (5.12)
После простых преобразований (5.12) приводится к виду
.
В том случае, когда , необходимо чтобы детерминант матрицы, стоящей в скобках, был равен нулю. Это приводит к решению уравнения:
,
где , (5.13)
или, раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение:
,
корни которого равны
, .
Из (5.13) находим наименьшую критическую силу
.
Точное значение критической силы для этой стойки
.
Погрешность МКЭ составила 0.81%.
На рис.5.7б изображена стойка с плавающей заделкой на верхнем конце. На рис.5.9 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде одного конечного элемента с одним неизвестным поступательным перемещением конца: Z1.
М атрица жесткости и матрица геометрической жесткости для неё вычисляется с помощью (5.7), (5.11) :
,
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
.
При , ,
откуда .
Точное значение критической силы для этой стойки
.
Погрешность МКЭ составила 1.3%.
На рис.5.7в изображена стойка со связями, препятствующими перемещениям и повороту концевых сечений.
На рис.5.10 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде двух конечных элементов с одним неизвестным поступательным перемещением середины стойки: Z1.
Матрица жесткости и матрица геометрической жесткости для неё вычисляется с помощью выражений(5.7), (5.11)
,
.
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
,
откуда находим при , . Точное значение критической силы для этой стойки
.
Погрешность МКЭ составила 1.3%.
На рис.5.7г изображена стойка с жестко заделанным и шарнирно опертым концами.
На рис.5.11 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде двух конечных элементов с тремя неизвестными: поступательным перемещением середины стойки Z1, углом поворота среднего сечения Z2 и углом поворота шарнирно опертого сечения Z3.
С помощью (5.7) вычисляются элементы матрицы жесткости:
, ,
,
,
,
.
и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жесткости:
, ,
,
,
,
.
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
при , получим уравнение
, (5.14)
где .
Раскрыв определитель (5.14), получим алгебраическое уравнение третьего порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст величину критической силы для стойки.
Расчет проведем, используя программный пакет Maple:
> restart;
> EI:=EI:L:=6.:
> with(LinearAlgebra):
> K:=2.*EI/((0.5*L)^2)*<<L^2/2|-1.5*L|L^2/4>,<-1.5*L|12|0>,<L^2/4|0|L^2>>;
> KG:=1/30*<<L^2|-1.5*L|-L^2/4>,<-1.5*L|72|0>,<-L^2/4|0|2*L^2>>;
> Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG);
Наибольшее собственное число матрицы : 1.738391356/EI равно обратному значению критической силы для этой стойки:
Точное значение критической силы для этой стойки
.
Погрешность МКЭ составила 0.191%.
На рис.5.7д изображена шарнирно опертая стойка. На рис.5.12 показана р асчетная схема этой стойки, принятая в виде двух конечных элементов с четырьмя неизвестными: углами поворотов шарнирно опертых сечений Z1 и Z4 , поступательным перемещением середины стойки Z1 и углом поворота среднего сечения Z2.
С помощью (5.7) вычисляются элементы матрицы жесткости:
, , , , ,
, ,
, ,
, , , , , , .
и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жесткости:
, , , , ,
, ,
, ,
, , , , , , .
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
,
при , получим уравнение
, (5.14)
где .
Раскрыв определитель (5.14) получим алгебраическое уравнение четвертого порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст величину критической силы для стойки.
Расчет проведем, используя программный пакет Maple:
> restart;
> EI:=EI:L:=6.:
> with(LinearAlgebra):
> K:=2.*EI/((0.5*L)^2)*<<L^2/2|-1.5*L|L^2/4|0>,<-1.5*L|12|0|1.5*L>,<L^2/4|0|L^2|L^2/4>,<0|1.5*L|L^2/4|L^2/2>>;
> KG:=1/30*<<L^2|-1.5*L|-L^2/4|0>,<-1.5*L|72|0|1.5*L>,<-L^2/4|0|2*L^2|-L^2/4>,<0|1.5*L|-L^2/4|L^2>>;
> Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG);
Наибольшее собственное число матрицы : 3.620329309/EI равно обратному значению критической силы для этой стойки:
Точное значение критической силы для этой стойки
.
Погрешность МКЭ составила 0.752%.
Мы провели расчеты всех вариантов стоек постоянной жесткости с различными закреплениями концов по МКЭ. Для стоек с одним подвижным концом стойка рассматривалась состоящей из одного конечного элемента, а для стоек с неподвижными концами – состоящей из двух конечных элементов. Сравнив результаты расчетов с точными решениями видим, что погрешность МКЭ для всех случаев меньше 1.5%.
Определим критический параметр N для одноэтажной рамы, показанной на рис.5.13. Рама имеет два жестких смещающихся в горизонтальном направлении узла. Расчетная схема принята в виде трех конечных элементов (смотри рис.5.14): левая стойка, ригель и правая стойка. Неизвестными считаем: горизонтальное перемещение ригеля Z1, угол поворота левого Z2 и угол поворота правого узла Z3.
С помощью (5.7) вычисляются элементы матрицы жесткости:
, , ,
,
, ,
, , .
и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жесткости:
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
,
при , получим уравнение
, (5.15)
где . (5.16)
Раскрыв определитель (5.15) получим алгебраическое уравнение третьего порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст величину критического параметра для рамы на рис.5.13. Или можно найти собственные числа: , для матрицы . Наибольшее собственное число даст величину обратную критическому параметру.
Расчет проведем, используя программный пакет Maple:
> restart;
> EI:=EI:L:=6:
> with(LinearAlgebra):
> K:=2.*EI/L^2*<<12|3*L|3*L>,<3*L|6*L^2|2*L^2>,<3*L|2*L^2|6*L^2>>;
> KG:=1/30*<<108|6*L|3*L>,<6*L|8*L^2|0>,<3*L|0|4*L^2>>;
> Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG);
Наибольшее собственное число матрицы : 6.344755585/EI равно обратному значению критического параметра для этой рамы (рис.5.13):