1. Краткие сведения из теории матриц

Матрица – прямоугольная таблица размером m x n (m – количество строк, n – количество столбцов). Порядок матриц определяется числами m и n. Если m = 1, n любое число имеем матрицу строку. Если m любое число, n = 1l – матрицу столбец. Иногда матрицу столбец называют вектором и обо­значают Если m = n матрица называется квадрат­ной. Единичная матрица – квадратная матрица, у которой на главной диа­гонали располо­жены элементы равные единице, а остальные элементы равны нулю.

;

Выше приведены прямоугольная матрица А, матрица столбец (век­тор) , единичная матрица - E; матрица строка С.

Элемент матрицы А - а_ij есть число расположенное на пересечении i-й строки и j – го столбца.

;

Примеры некоторых числовых матриц приведены ниже

1.1. Действия над матрицами

1.1.1. Умножение матрицы на число

Пусть А – матрица, – число.

Элемент матрицы произведения С есть произведение элемента мат­рицы А на общий множитель .

Пример №1:

Дано: Найти

Решение:

1.1.2. Сложение матриц

Если A и B – матрицы одного порядка m x n. Можно определить мат­рицу С как сумму матриц А и B:

Элемент матрицы суммы: С есть сумма элементов матриц А и B. При сложении матриц справедлив переместительный закон:

A + B = B +A.

Пример №2:

Дано: Найти:

Решение:

1.1.3. Произведение матриц

Если A порядка m x n и B порядка n x k, то матрица C порядка m x k

есть произведение матриц A и B:

Элемент матрицы произведения C равен сумме произведений элемен­тов i – й строки матрицы A на элементы k – го столбца матрицы B.

При умножении матриц не справедлив переместительный закон:

Пример №3:

Дано: Найти:

Решение:

1.1.4. Транспонирование матриц

Операция транспонирования матрицы есть замена строк ее столб­цами и наоборот:

Пример №4:

Дано: Найти:

Решение:

5. Обращение матриц

Матрица B есть обратная по отношению к матрице А, если выполня­ются следующие зависимости

определитель матрицы А;

алгебраическое дополнение элемента ij матрицы A.

Алгебраическое дополнение находится как определитель, состав­лен­ный из элементов матрицы A, в которой вычеркнуты i-я строка и j-й стол­бец. Знак алгебраического дополнения определяется знаком опреде­ли­теля, умноженным на (-1)^i+j.

Мы привели здесь только один способ, который можно использовать для обращения матриц невысокого порядка. Другие способы обращения матриц не приводим, так как предполагаем, что для обращения матриц высокого порядка будет использоваться вычислитель­ная техника.

Пример №5:

Дано: Найти:

Решение:

Определитель матрицы А:

Алгебраические дополнения матрицы А:

Обратная матрица: