1.4. Функции матриц

Из (1.14) с учетом (1.6) следует

……………………………………………………. (1.18)

Пусть – функция , допускающая разложение в ряд Маклорена, тогда из (1.18) следует:

(1.19)

Формула (1.19) дает определение функции, аргументом которой явля­ется матрица А. Эту функцию несложно найти, зная собственные числа матрицы f(A), а это числа . Таким образом, формула (1.19) по­зволяет построить алгебру матриц на основе обычной алгебры, заменяя любые алгебраические преобразования матриц, преобразованиями собственных чисел.

В частности, можно записать:

(1.20)

На следующих страницах приведены примеры вычисления функций матрицы А.

Пример №9: Дано: В предыдущем при-

мере были найдены собственные числа и собственные векторы этой мат­рицы. Составим матрицы собственных векторов и собственных чисел:

Найти:

Решение:

(1.21)

Элементарно просто находим:

И затем по (1.21) выполняем перемножения, получаем

Легко проверить, что , .

2. Матрицы в статике сооружений

2.1. Матричная форма определения перемещений

Для определения перемещений применяется формула Мора:

, (2.1)

где - единичное внутреннее усилие по направлению искомого перемеще­ния; - внутреннее усилие от заданной нагрузки; - жесткость поперечного сечения для данного вида деформаций.

Для вычисления интеграла (2.1) используем формулу трапеций при аппроксимации подинтегральных функций прямыми линиями, или фор­мулу Симпсона при аппроксимации линейной функцией, а квадрат­ной параболой, в обоих случаях считаем постоянной на всем участке.

Рассмотрим участок длиной , жесткостью , внутренние усилия на концах эпюры равны a, b и c, d на концах эпюры , и e, f в серединах уча­стков тех же эпюр. Перемножаем эпюры M_i и M_k по правилу Верещагина:

Учитываем, что

Полученные формулы легко записать в матричной форме:

(2.2)

В формуле (2.2) обозначены:

. (2.3)

для прямолинейных участков эпюр и и

. (2.4)

для криволинейной эпюры , которая аппроксимируется квадратной пара­болой.

В тех случаях, когда эпюра внутренних усилий имеет более сложный вид, например вид ломаной линии, состоящей из прямолинейных или криволиней­ных отрезков, выделяем отдельные отрезки эпюр, закон изменения уси­лия на которых одинаков. Всё это приводит к необходимости назначать отдельные участки на эпюрах. Назначают границы участков в начале и на конце эпюры, в точках появления или исчезновения нагрузок, в точках из­менения закона жесткости и в точках перелома оси стержня. На границах участков в столбец выписывают значения внутренних усилий для прямо­линейных участков. На криволинейных участках между граничными значе­ниями выписывают значение в середине участка. Если значения на обоих эпюрах усилий, на двух соседних, примыкающих друг к другу участках одинаковы, то они записываются один раз. При этом значения в матрице податливости G, суммируются и записываются на главной диагонали мат­рицы с тем же номером, что и номер усилия на эпюрах.

П ример №10: Дано:

Рама загружена, направленной вниз, равномерно распределенной нагруз­кой q=1 кН/м, сосредоточенной силой F=6 кН и парой сил с моментом m=6 кНм.

Найти вертикальное перемещение точки А, горизонтальные перемещения точек А, B, C и D, угол поворота сечения С.

Решение:

Строим эпюру изгибающих моментов M_F от действия заданной нагрузки (Рис.2.4.). Д ля определения перемещений задаем вспомогательные единичные на­гружения F₁=1, F₂=1, F₃=1 и m=1 и строим единичные эпюры изгибающих моментов (Рис.2.5):

.

Составляем исходные матрицы. С этой целью разбиваем раму на участки: 1-й участок – консоль ригеля рамы, 2-й участок – ригель рамы между стойками, 3-й участок – левая стойка, 4-й участок – правая стойка рамы.

Рис.2.5. Единичные эпюры изгибающих моментов (к примеру №10)

Так как на консоли эпюра моментов криволинейна, берем ординаты в трех токах, кроме ординат на концах пишем ординату в середине участка. На остальных участках выписываем только ординаты на концах участков.

Составляем исходные матрицы:

Перемножим матрицы:

вертикальное перемещение точки А, и горизонтальные перемещения точек A, B, и С:

горизонтальное перемещение точки D:

угол поворота сечения C:

Пример №11: Дано:

б

I=Const

алка А – Е, загруженная направленной вниз равномерно распределенной нагрузкой q=2 кН/м и двумя сосредоточенными силами F₁=10 кН и F₂ =5 кН. Жесткость балки EJ постоянная.

Найти:

углы поворотов сечений А и Е и вертикальные перемещения сечений С и E.

Решение:

(см. Рис.2.6)

Строим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки Эп.M_F.

В

Рис.2.6. К примеру №11

ыбираем вспомогательные состояния балки, загрузив ее единичными моментами m_A=1, m_E=1 для определения углов поворотов, и единичными силами F_C=1 и F_E=1. Строим эпюры изгибающих моментов Эп.M_AM, Эп.M_CF, Эп.M_EF и Эп.M_EM.

Формируем матрицы изгибающих моментов и и матрицу подат­ливости G. Разбиваем балку на участки I. II, III, IV. На участке I, где эпюра изгибающих моментов криволинейна, введем дополнительное сече­ние посредине. На границах участков изгибающие моменты в конце пре­дыдущего равны моментам в начале следующего на всех эпюрах, поэтому в матрицах и записываем их один раз. Введем основную длину l₀ и основную жесткость EI₀. Вычислим коэффициенты: примем l₀=2 м, EI₀=EI:

Формируем матрицы

Перемножим матрицы:

Ответ: