Тема 6. Геометрическая оптика.

Центрированные оптические системы, оптическая ось, параксиальная оптика.

Центрированная оптическая система — это система, в которой все преломляющие границы сферические, и центры всех сфер лежат на одной прямой.

Эта прямая называется оптической осью системы.

Приближение параксиальной оптики состоит в двух допущениях. Все лучи имеют малый угол с оптической осью. Каждый луч, проходя преломляющую границу, находится на малом расстоянии от оптической оси. Расстояние мало по сравнению с радиусом кривизны преломляющей поверхности.

Преломление света на сферической границе.

Пусть , — угол между лучом и оптической осью до и после преломления на границе, — угол между оптической осью и нормалью к границе в точке преломления луча. Тогда — закон Снеллиуса., где в приближении параксиальной оптики синусы можно опустить. Тогда , где , где — радиус кривизны границы двух сред. Окончательно получаем

Матричная оптика. Опорная плоскость. Координаты луча.

Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе.

Оптическая сила сферической границы.

Плоскость перпендикулярную оптической оси назовем опорной плоскостью.

Рассмотрим две опорные плоскости. Каждый луч в первой опорной плоскости будем характеризовать двумя координатами: расстояние от оптической оси и произведение , где — показатель преломления в первой опорной плоскости, — угол между лучом и оптической осью. Из двух координат луча можно составить вектор в некотором абстрактном пространстве. Здесь индекс 1 относится к первой опорной плоскости. Координаты луча во второй опорной плоскости, если между плоскостями однородная среда с показателем преломления , можно найти из системы , где , , — один и тот же показатель преломления среды между опорными плоскостями, — расстояние между опорными плоскостями.

Тогда координаты луча во второй опорной плоскости можно выразить через координаты луча в первой опорной плоскости с помощью некоторой матрицы : , где

называется матрицей трансляции.

Для преломления на сферической границе , где второе уравнение было получено в предыдущем вопросе. Тогда

— матрица преломления на сферической границе, где

— оптическая сила сферической границы.

Заметим, что если рассмотреть три опорные плоскости, то , так как каждая часть равенства равна вектору .

Следовательно, перемножением матриц трансляции и преломления на сферической границе можно найти матрицу оптической системы любой сложности. Порядок перемножения матриц обратный по отношению к порядку, в котором луч встречает элементы оптической схемы.

Оптическая сила тонкой линзы.

Матрица тонкой линзы , где и — оптические силы двух границ тонкой линзы. Если ввести обозначение для оптической силы линзы , то матрица тонкой линзы будет выглядеть также как матрица сферической границы .

Для тонкой линзы из материала с показателем преломления , расположенной в вакууме оптическая сила равна .

— оптическая сила тонкой линзы, где и — радиусы кривизны двух поверхностей линзы. Здесь для двояковыпуклой линзы .

В параксиальной оптике удобно принять следующее правило знаков для величин с размерностью длины. Пусть ось x направлена вдоль оптической оси. Пусть — положение сферической границы или тонкой линзы. Будем считать, что радиус кривизны границы , если центр кривизны имеет x координату .

Формула тонкой линзы. Сопряженные плоскости.

Фокусное расстояние. Фокальная плоскость. Фокус.

Рассмотрим две опорные плоскости на расстояниях и с двух сторон тонкой линзы с оптической силой . Матрица перехода от первой ко второй опорной плоскости = .

В соответствии с этой матрицей . Рассмотрим это уравнение применительно к точечному предмету в первой опорной плоскости и его изображению во второй опорной плоскости. Плоскости предмета и изображения называются сопряженными плоскостями. Тогда пучок лучей, выходящих из точки под любыми углами должен собраться в точку . Если равенство сохраняется при любом , то коэффициент при должен быть равен нулю . Откуда .

Если среды слева и справа от тонкой линзы имеют показатели преломления и , то во всех формулах этого вывода нужно заменить и . Тогда .

Учтем теперь правило знаков в параксиальной оптике. Если предмет слева от линзы и его x координата равна , а изображение справа от линзы и его x координата равна , то

— формула тонкой линзы.

Пусть теперь на линзу падает параллельный пучок лучей ( ), тогда точка, в которой он собирается, называется фокусом линзы (задним фокусом). Координата фокуса относительно линзы называется фокусным расстоянием . Тогда

, откуда .

Если свет выходит из некоторой точки на оптической оси, и после линзы свет идет в виде параллельного пучка лучей, то и свет выходит из переднего фокуса, а его координата относительно линзы равна переднему фокусному расстоянию .

.

Оба фокусных расстояния связаны с оптической силой линзы соотношением

.

Фокальная плоскость — плоскость перпендикулярная оптической оси и проходящая через фокус.

Построение изображений в тонкой линзе. Действительное и мнимое изображение.

Для построения изображения точечного источника в тонкой линзе достаточно найти пересечение двух любых лучей, выходящих из точечного источника. Есть три удобных луча. Луч, который до линзы идет параллельно оптической оси, после линзы обязан пройти через ее задний фокус. Луч, который до линзы проходит через передний фокус, после линзы пойдет параллельно оптической оси. Луч, который проходит через центр тонкой линзы, пойдет за линзой без изменения направления, если показатель преломления среды до и после линзы один и тот же.

Изображение действительное, если оно расположено за линзой. Изображение мнимое, если лучи за линзой не пересекаются, а пересекаются лишь их продолжения в область перед линзой.

Построение хода произвольного луча при прохождении тонкой линзы.

Возьмите произвольный луч. Пусть этот луч падает на тонкую линзу в точке A. Рассмотрите луч, параллельный заданному лучу и проходящий через передний фокус линзы. Этот второй луч после линзы пойдет параллельно оптической оси и пересечет заднюю фокальную плоскость в некоторой точке B. Заданный луч после линзы проходит через точки A и B.

Сферическое зеркало.

Рассмотрим вогнутое сферическое зеркало. Рассмотрим луч, падающий на зеркало параллельно оптической оси. Из геометрических соображений точка, в которой отраженный луч пересечет оптическую ось, расположена на расстоянии от зеркала, где — фокусное расстояние сферического зеркала, — радиус кривизны зеркала. Для вогнутого зеркала по правилу знаков обе величины положительны.

Толстая линза. Матрица толстой линзы. Главные плоскости.

Матрица толстой линзы:

= ,

где , — оптические силы двух сферических поверхностей, — толщина линзы, — показатель преломления линзы.

Главные плоскости оптической системы — сопряженные плоскости с единичным коэффициентом усиления.

Гомоцентрический пучок лучей. Приведенный радиус кривизны. Правило ABCD.

В изотропной среде лучи перпендикулярны поверхности равных фаз. Сферический фронт волны соответствует гомоцентрическому пучку лучей. — приведенный радиус гомоцентрического пучка лучей, где — радиус соответствующего сферического фронта волны.

Для любой точки гомоцентрического пука лучей выполняется соотношение , где — расстояние от точки на фронте волны до оптической оси, — угол между лучом, проходящем через рассматриваемую точку, и оптической осью. Тогда — приведенный радиус равен отношению координат луча.

Пусть гомоцентрический пучок лучей проходит через оптическую систему с матрицей . Тогда . Откуда

— правило ABCD, или правило преобразования приведенного радиуса гомоцентрического пучка лучей.

Факультативно. Гауссовы пучки.

Хорошим приближением для лазерного пучка лучей является гауссов пучок. Пусть световая волна распространяется вдоль оси z. Будем называть пучок лучей гауссовым, если поле световой волны можно найти по формуле

,

где .

Здесь — зависимость радиуса пучка от координаты вдоль оси пучка, — радиус шейки каустики, шейка каустики — самое узкое место каустической поверхности , каустическая поверхность — поверхность, огибающая все лучи. — зависимость радиуса кривизны гомоцентрического пучка лучей от координаты вдоль оси пучка. — фазовый сдвиг относительно фазы плоской волны вдоль оси z.

Шейка каустики не отображается линзой по законам геометрической оптики. Преобразование гауссова пучка лучей тонкой линзой определяется изменением приведенного радиуса кривизны по правилу ABCD. Если рассмотреть две опорные плоскости непосредственно перед тонкой линзой и сразу после линзы, то . По первым двум уравнениям приведенной выше системы из трех уравнений по известным значениям и можно найти и новой каустической поверхности.

Глаз.

Свет и цвет.

Лупа. Увеличение лупы.

Окуляр.

Подзорная труба или телескоп. Труба Кеплера. Труба Галилея.

Угловое увеличение телескопа.

Микроскоп.

Призменный спектрометр. Выбор положения элементов схемы: источника света,

конденсорной линзы, коллиматорной линзы, призмы, репера и окуляра.

Аберрация (искажение). Хроматическая аберрация, сферическая аберрация,

астигматизм, дисторсия, кома.

Факультативно. Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки.

Апертура. Относительное отверстие.

Распространение света в неоднородной среде. Эйконал. Уравнение эйконала.

l — геометрическая длина пути.

L — оптическая длина пути.

Уравнение для вычисления траектории луча в неоднородной среде.

Распространение света в среде, в которой показатель преломления n зависит только от вертикальной координаты z.

Принцип Ферма.

Миражи. Рефракция.

, где N — концентрация молекул, α — поляризуемость молекулы.

— рефракция или молекулярная рефракция, N_A — число Авогадро.