Первые интегралы
Рассмотрим для определенности систему трех уравнений первого порядка:
Определение:
Всякое соотношение вида
Обязаны тождественно удовлетворять для решения системы уравнений.
Значение первого интеграла дает
возможность понизить число уравнений
в системе на 1. Так если из (4) выразить
и поставить в уравнение системы, то
получим систему из двух уравнений
первого порядка, с двумя неизвестными
функциями
.
Если её проинтегрировать, то
находиться без интегрирования из
равенства (4). Аналогичным образом
значение двух независимых первых
интегралов позволит понизить число
уравнений на 2, а три независимых первых
интеграла дают общее решение системы
записанной в неявной форме.
Иногда первые интегралы удается найти выводя из заданных уравнений системы интегрируется комбинации, например, для системы:
В некоторых случаях первые интегралы находят из физических соображений.
Если в одном из первых интегралов
(5)
На место
подставим какое–либо решение системы:
то левая часть обратиться в функцию от
x , тождественно
левую постоянной. Дифференцируя, обе
части тождества по x
получим:
-
решение системы, то производные
можно заменить в силу нормальной формы
системы:
Таким образом, левая часть каждого первого интеграла удовлетворяет соотношению (7)
Пусть обратно, некоторая функция
обращает уравнение (7) в тождество. Тогда
вдоль любой интегральной кривой системы
имеет место равенство (6), а следовательно
и равенство (5). То есть вдоль каждой
интегральной кривой функция
принимает постоянное значение.
Вывод: Равенство (7) есть необходимое и достаточное условие, для того чтобы уравнение (5) представляло первый интеграл. Если система уравнений задается в интегральном виде:
И
первый интеграл этой системы, то уравнение
(6) запишется в виде:
Вдоль интегральной кривой
,
пропорционален
следуя аналогично (7) , будет являться
соотношением:
Линейные системы с постоянными коэффициентами
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
(1)
Как отмечалось ранее каждая система (1) может быть сведена к одному уравнению n-го порядка. При рассмотрении системы (1) получается линейные уравнения n-го порядка, с постоянными коэффициентами. Разрешив уравнение n-го порядка можно выписать решение системы (1) и в матричном виде:
Где
Из курса линейной алгебры известно, что всякая квадратная матрица А может быть приведена невырожденными линейными преобразованиями к Жордановой форме
Определение: Жордановой формой матрицы называется матрица у которой по главной диагонали расположены Жордановы точки а все остальные элементы равны нулю:
Жордановой клеткой k-го порядка называется матрица вида
По главной диагонали расположены соответственные значения а на параллельной ей диагонали единицы. Остальные элементы – нули. Жорданова клетка 1-ого порядка состоит из одного числа
2-го порядка
3-го порядка
и т. д.
Вопрос о решении системы (1) может быть решен привидением матрицы A к Жордановой форме. Существенную роль при этом играют собственные значения и собственные вектора. Продемонстрируем соответствующую технику на конкретных примерах:
Пример 1:
C=
0
=0
~
z=0
x-y=0, x=y
у=0
x=-z
х=0
z=2y
=
=
=
Проверка:
Т=
=
=
Т
=
=
=
=
=
+
+
Пример 2:
=
0
у=0
x=z
=
=
+
+
=
=
=
+
=
+
=
+
+
Пример 3:
=
0
у=z
x=z
у=0
x=z
у=-1+z
x=1+z
,
=
=
=
=
=
+
+
Пример 4:
y=2x
x=-y
=
+
=
+
-
+
+
-
+
=
+
+ =
=
=
+
+
=
+
+