Сравнение рядов с положительными членами

Имеем 2 ряда с положительными членами.

(1)

(2)

Теорема: Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2) и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство: В силу условий теорема имеем место неравенство:

Обозначим через частичную сумму ряда (1) частичную сумму ряда (2). В силу неравенства (3) заключается, что частичная сумма меньше или равна частичной сумме . Т.к. ряд сходится, то существует предел при , обозначим через , т.к. члены рядов 2 положительны, то имеет место неравенство: , откуда следует, что частичная сумма . Т.о. члены ряда (1) положительны, то последовательность частичных сумм возрастает. Согласно теореме первого курса, возрастающая и ограниченная сверху последовательность, имеет предел => . Т.о. показали, что ряд (1) сходится.

Пример: Используя сформулированную теорему установить сходимость или расходимость ряда.

Выпишем вспомогательный ряд:

Видим, что члены вспомогательного ряда не меньше членов исходного ряда. Видим, что вспомогательный ряд сходится. Т.к. отбросили первый член, получим сходящуюся последовательность. Согласно теореме, вытекает сходимость исходного ряда.

Теорема: Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2) и ряд (2) расходится, то ряд (1) также расходится.

Доказательство: Согласно условию теоремы

(4)

Из соотношения (4) вытекает, что . Т.к. ряд (2) расходится и состоит из положительных членов, то . Т.о. переходя в неравенство (5) .

Теорема: Придельный признак сравнения. Если члены рядов (1), (2) удовлетворяют соотношению , где , то ряды (1), (2) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: Фиксируем произвольное положительное число , согласно определению предела последовательности для заданного числа найдется номер N, такой, чтобы для всех выполнялось неравенство:

Замечаем, что N конкретное значение, выберем значение m– минимальную величину из величин.

Тогда соотношение соответствующих членов рядов (1), (2) будет удовлетворять неравенству:

, откуда вытекает, что

(6)

Замечаем, что если ряд (2) сходится, то будет сходиться и ряд

Исходя из равенства (6) вытекает сходимость ряда (1). Если ряд (2) расходится, то будет расходиться и , откуда в силу левого неравенства (6) из теоремы о сравнении, следует расходимость ряда (1).

Если известен вопрос о сходимости ряда (1), то чтобы сделать вывод о сходимости ряда (2) достаточно рассмотреть:

Признак сходимости ряда: Если ряд сходится то каждый n-ый член ряда стремится к о при n стремящемся к бесконечности.

Доказательство: Так как ряд1 сходится, то существует предел его предельных значений при

C учетом (2), (3), законы что

На сходимость ряд n-ий член которого определяется выражением :

расходиться.

Расходимость гармонического ряда

Гармонический ряд – это ряд вида: (4)

n-ый член гармонического ряда стремиться к 0 при .

Покажем, что гармонический ряд расходиться. Выделим в гармоническом ряде смежные группы членов. Рассмотрим вспомогательный ряд(4’). Заменим каждую группу выделенных членов min членом.

Члены ряда (4’) не больше соотношения членов ряда (4) по признаку сравнения из расходимости ряда (4’) ,будет исходить расходимость ряда(4).

Выпишем сумму вспомогательных частей ряда (4’)

Замечаем, что частичная сумма (5)

Из выражения (5) видим, что увеличивается n частичная сумма ряда(4’), стремиться к бесконечности ряд (4’) расходиться расходиться исходный гармонический ряд.

Пример показывает, что стремление к 0 n-го члена ряда является только необходимым условием и не является достаточным условием сходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости рядов с нулевыми членами.

Признак Даланбера:

Теорема: Если ряд обладает свойством, что равен конечному числу l если l<1 то ряд (1) сходиться, если l>1, то ряд(1) расходиться.

Доказательство:

Докажем сходимость ряда (1) при выполнении условия l<1. Выберем число l<q<1 возьмём в качестве положительную величину (q-l), согласно определению предела последовательности для заданного числа , найдется номер N такой, что для ,будет выполняться неравенство . Последнее неравенство запишем:

В силу правого неравенства заключаем, что ряд положительными членами:

(2)

Неравенство (2) выполняется для всех номеров . Исходя из (2) запишем последовательность неравенств

Рассмотрим вспомогательный ряд:

(3)

Видим, что ряд (3) является геометрической прогрессией со знаменателем q<1

Ряд (3) сходиться. Соотношение (2) показывает что члены ряда (3) не меньше членов ряда (1) с номерами отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда, то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (1)

Докажем 2-е утверждение. Пусть l – конечное число >1. Выберем в качестве - положительную величину l-1. Тогда по определению предела найдется такой номер N что для всех номеров ,будет выполняться условие:

. В силу левого неравенства заключаем, что для всех номеров n будет

Из (4) следует что для всех номеров выполняется неравенство (4’)

Если величина то переходя в (4’) к пределу получаем , что

Согласно необходимому признаку сходимости ряда, расходимость ряда (1)

Если то исходя из неравенства (4) следует

Переходя в (4’’) к пределу , откуда согласно необходимому признаку сходимости ряда следует, расходимость ряда (1)

Пример:

Исследовать на сходимость ряда

По принципу Даланпера, заданный ряд сходиться.