![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дифференциальные уравнения.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Элементарные методы интегрирования (оду первого порядка)
- •I. Дифференциальное уравнение первого порядка не содержащее явно искомую функцию.
- •II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •III. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •IV. Уравнение Бернулли:
- •V. Уравнения полных дифференциалов:
- •Особые точки
- •Особые решения
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Автономное уравнение второго порядка
- •Линейные однородные уравнения n-го порядка
- •Определитель Вронского
- •Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Метод вариации постоянных
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Геометрический смысл системы уравнений первого порядка
- •Первые интегралы
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами
- •Устойчивость положения равновесия (устойчивость по первому приближению)
- •Сравнение рядов с положительными членами
- •Расходимость гармонического ряда
- •Радикальный признак Коши, сходимости рядов с положительными членами
- •Интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.
- •Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •Действия над сходящимися рядами
- •Умножение абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Критерии Коши равномерной сходимости функционального ряда
- •Функциональная последовательность
- •Свойства равномерно сходящихся функций последовательностей
- •Свойство равномерно сходящихся рядов
- •Признак Вейерштрасса
- •Степенные ряды. Радиус сходимости
- •Теорема Абеля
- •Свойство сторонних рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Вычисление определенных интегралов
- •Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
- •Разложение в ряд Фурье непериодической функции
- •Интеграл Фурье
Элементарные методы интегрирования (оду первого порядка)
[1] Метод разделения переменных:
I. Дифференциальное уравнение первого порядка не содержащее явно искомую функцию.
Дифференциальные уравнения
этого типа могут быть записаны в виде:
(3)
(3’).
Если
,
является решением уравнения (3) на
некотором интервале, то дифференциал
(4).
Сравнивая (3’) и (4) замечаем, что функция
является
первообразной для функции
,
при этом рассматривается непрерывная
на интервале функция f(x)
и следовательно для неё существует
первообразная:
(5).
Дифференциальное уравнение (3) принято
записывать в виде:
(некоторая первообразная), с –
некоторая постоянная. Для выяснения
смысла постоянной с, найдем решение
задачи Каши для уравнения (3) для этого
приводим (5) в виде:
(5’),
,
получим
.
Таким образом замечаем, что решение
уравнения (3) можно представить в виде:
(5”).
[1.2] В дифференциальных уравнениях
первого порядка не содержится явно
независимые переменные. Дифференциальные
уравнения такого типа можно представить
в виде:
(6)
или в виде
(6’).
Будем предполагать, что для решения
уравнения (6)
,
существует обратная функция:
.
Относительно обратной функции уравнение
(6) будет относится к типу 1.1). Используя
правило дифференциальной обратной
функции, можно записать:
(7).
Разрешая выражение (7) получим, что
(8).
Замечаем, что для использования выражения
(8) необходимо потребовать, чтобы функция
была отлична от нуля. Если функция
отлична от нуля и не прерывна на интервале
,
то на этом интервале функция
сохраняет
знак. При этих условиях
,
является монотонной, а следовательно
для неё существует обратная. Эта обратная
функция не будет являться уравнением
(6).
[1.3]Общий случай разделения переменных.
Наиболее общий тип таких дифференциальных
уравнений представляется в виде:
(9). Либо в виде:
(9’),
(9”). Если
является решение уравнения (9), обращается
в тождество на рассмотренном интервале,
следовательно, левую и правую часть
уравнения (9”) можно приравнять к
дифференциалу некоторой переменной t.
В правом выражение дифференциала dt
выражается через переменную x,
в левом через y.
Используя интегрирование типов уравнений
[1.1] [1.2] получим, что
,
.
Приравнивая выражения для величины t,
найдем:
(10)
Уравнение (10) определяет решение уравнения (9), содержит в себе, в качестве частных случаев, уравнения [1.1] и [1.2].
II. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Записываются в виде:
(11), где
однородная
функция нулевого порядка, т.е.
обладает свойством
(12),
где t-некоторый
произвольный множитель. Взяв соотношение
(12)
,
получим, что
,
замечаем, что правая часть последнего
равенства является функцией одной
переменной от отношения
.
.
Таким образом, уравнение (11) можно
представить в виде:
(11’). Для нахождения решения функции
(11’) вводят новую функцию
,
тогда
,
и уравнение (11’) можно представить в
виде:
.
Получили уравнения с разделяющимися
переменными
.
Интегрируя последнее соотношение,
находим:
.
Возвращаясь к переменной y,
находят общее решение однородного
дифференциального уравнения.
Пример:
Найти решение уравнения:
.
Видим, что функция
.
=>функция
однородная первого порядка.
,
,
,
,
,
.