![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
Пример 1.Множество
всех функций, заданных на отрезке [a,
b] и имеющих
на нем непрерывные производные до k
-го порядка включительно, называется
классом
.
Пример 2.При
k=0
получаем класс
- множество непрерывных на отрезке [a,
b] функций.
Если на
ввести норму по формуле
, (2)
то получим линейное
нормированное пространство C[a,b]
(операции сложения и умножения на число
вводятся обычным образом f+g=f(x)+g(x),
).
Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются. В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.
Замечания.Норму в классе можно ввести не единственным образом.
Например,
. (3)
Сходимость последовательности
по норме (2) – это равномерная сходимость, т.е. последовательность
сходится к f - это то же самое, что
- это равномерная
сходимость.
Пространство C[a,b] с нормой (2) является полным в силу теоремы мат. анализа: равномерно сходящаяся последовательность в замкнутой области сходится к непрерывной функции.
Пример 3.Множество
всех функций, p-я
степень модуля которых интегрируема
на отрезке [a,
b], называется
линейным нормированным пространством
,
если на нем введена норма по формуле
. (4)
Сходимость по норме (4) называется сходимостью в среднем (при p=2 - среднеквадратичная сходимость).
Замечание.Пусть
,
тогда
.
,
.
Отсюда следует,
что из сходимости последовательности
по норме C
следует ее сходимость по норме
,
но не наоборот.
Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
Задана функция y(x), некоторый класс функций X и некоторая норма, или метрика.
Найти функцию
,
такую что
.
Чаще всего
используются нормы
и
,
такие что
,
(равномерное приближение)
.
(среднеквадратичное приближение)
Задача приближения полиномами.
Пусть класс X
состоит из функций вида
,
где
- заданная последовательность функций.
Например, при
получаем задачу приближения алгебраическими
полиномами. При
или
- тригонометрическими полиномами и т.п.
Тригонометрическими функциями приближаем, когда строим ряды Фурье.
Интерполяция.
Общая задача
интерполяции.Пусть
f(x)
– определена на [a,b]
и принадлежит некоторому классу
.Задана
сетка узлов a
x0
< x1
<…< xn
b.
Требуется построить
функцию
,линейную
относительно функций
k(x)
и такую, что выполняется условие
, (1)
причем, система {k(x)}k=0, …, n линейно независима.Выбор системы {k(x)} определяется классом функций f(x).Частный случай – интерполяция многочленами:
{k(x)} = {xk}, k = 0, 1, …, n
Пусть Ln(x)
– искомый интерполяционный многочлен
n-ой
степени.Должно выполняться
условие:
.(2)Определитель
системы (2) называется определителем
Вандермонда.
.
Замечание 1.Система (2) плохо обусловлена, в связи с чем, ее численное решение затруднительно. Понятие плохой обусловленности будет подробно рассмотрено в лекции 11.
Поэтому интерполяционный полином находят другим способом.
Найдем частные
полиномы
,
обладающие свойством
.
В качестве таких полиномов можно взять
.
Тогда полином
,
обладающий свойством
,
можно записать в виде
(3)
Очевидно,
-
полином n-го
порядка, или n-ой
степени. Полученный таким способом
полином называют интерполяционным
полиномом Лагранжа.
Подведем некоторые
итоги. Итак,
поставленная задача интерполяции
функции y(x)
на сетке узлов
алгебраическим полиномом n-ой
степени решается с помощью интерполяционного
полинома Лагранжа (3).
Теорема 1.Полином - единственное решение задачи (2).
Пусть существует другой полином
такой, что
.
Поскольку
и
полиномы степени n,
то
-
- полином степени
,
причем в узлах интерполяции разность
Но полином степени не может иметь (n+1) корней, следовательно,
= - единственный полином Лагранжа.
Существуют и другие формы представления помимо (3).
Рассмотрим погрешность аппроксимации функции y(x) с помощью полинома .
Теорема 2.Пусть
функция
,
,
(максимум существует, т.к. (n+1)–я
производная непрерывна, следовательно,
максимум достигается на отрезке [a,b]).
Пусть задана сетка узлов
,
- интерполяционный полином Лагранжа.
Тогда для погрешности интерполяции
справедливы оценки:
, (4)
, (5)
где
-
специальный полином (n+1)-ой
степени. (6)
Запишем y(x)
в виде:
, (*)где
- погрешность интерполяции в точке
x[a,b].
Очевидно, что
,
i=0, 1,…, n (7)
С учетом (7)
можно искать в виде
.Зафиксируем
,
Рассмотрим
функцию
. (8)Очевидно,
обращается в 0 в (n+2)
-х точках t=x:
(см. (*))
:
,
(см. (6))
i=0,1,2…n
По теореме Ролля
на интервале (a,b)
существует, по крайней мере, (n+1)
точка, в которой
обращается в 0.
По теореме Ролля
на интервале (a,b)
существует, по крайней мере, n
точек, которых
.
И так далее…Существует,
по крайней мере, одна точка
такая, что
.
Учитывая, что
,
и дифференцируя
(n+1) раз формулу (8) по t
в точке
получим
,
.
Поэтому
.
Отсюда следуют (4) и (5).
Пример 1.
Пусть
,
[a,b]
- отрезок [100,144].
Построить интерполяционный многочлен второго порядка L2(x) в узлах
,
,
.
Оценить погрешность интерполяции в т. x=116 и на всем отрезке [a,b].
,
,
,
.