15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.

Пусть требуется вычислить интеграл: ,(1)где - весовая функция ( абсолютно интегрируема на с весом (x))

Рассмотрим сначала случай .

Определение. Квадратурной формулой n-го порядка для интеграла (1) называется выражение вида: ,(2)где - веса квадратурной формулы, - узлы , ( узел), -остаточный член квадратурной формулы. Начнем с рассмотрения простого примера.

Пример 1.Пусть , - строго выпукла на этом отрезке, ,( ).Заменим константой на . Как ее выбрать? (т.е. приблизить функцию полиномом нулевой степени Q₀(x)).1) Положим см. рисунок. Площадь -формула прямоугольника.

2) - что лучше?

3) Выберем таким образом, чтобы , причем min в классе функций. Первый подход связан с приближением функции интерполяционным многочленом. Это наиболее простой путь получения квадратурных формул. Рассмотрим этот подход наиболее подробно. Положим , (3) где - многочлен Лагранжа, построенный по узлам , выбираемых пока произвольно. Как известно из теории интерполяции (Л-2) , где (4)

(5)

- фундаментальные полиномы Лагранжа. Остаточный член интерполяционной формулы имеет вид (Л-2): , где

Из (3) и (4) (6)

Проинтегрируем формулу (6) по

Обозначим , (7) (8)

(7)-веса, (8)-остаточный член квадратурной формулы, интегралы в (7) легко вычисляются, как интегралы от полиномов. Рассмотрим некоторые частные случаи.

n=0 Нужна одна точка (узел) .Если используя формулы (5) и (7), получим формулу прямоугольников типа 1) из примера 1. Заметим, что исследование остаточного члена в виде (8) не совсем удобно, так как необходимо уточнить точку , которая определяется в соответствии с теоремой о среднем. Будем оценивать остаточный член по модулю: , (9) где .

Пример. Получить оценку остаточного члена для формулы прямоугольников.

Самостоятельно. Перейдем к выводу квадратурной формулы порядка 1.

n=1Узлы: . Согласно формулам (5), имеем

По формуле (7)

– формула трапеций (10)

Площадь под кривой y=f(x) приближается с помощью формулы - площадь трапеции.Геометрическая иллюстрация.

Оценим остаточный член формулы трапеций:

(11)

Формулы Ньютона-Котеса.

Для повышения точности формулы трапеций введем на более густую равномерную сетку с шагом h: , , .Используя полученное разбиение, запишем и применим на каждом отрезке формулу трапеций (10) , (12) где , согласно (11).

Формула (12) носит название обобщенной формулы трапеций

Определение.Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами носят название формул Ньютона-Котеса порядка n с (N+1) узлами, где n- порядок интерполяции.

(12) – формула Ньютона-Котеса порядка n=1 c (N+1) узлами.

Определение.Говорят, что данная квадратурная формула имеет алгебраическую точность , если для многочлена степени меньшей или равной формула трапеций (10)-точна для многочлена , то есть, имеет алгебраическую точность 1.