- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
Рассмотрим общую задачу численного интегрирования с весовой функцией . При построении квадратурных формул интерполяционного типа необходимо ввести дополнительно условие на весовую функцию: (1) Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
. (2)
При построении квадратурных формул Ньютона-Котеса узлы распределялись равномерно по отрезку [a,b]. Очевидно, что такой способ выбора узлов становится невозможным для несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Возникает вопрос: как выбрать систему узлов квадратурной формулы, чтобы формула (2) имела наивысшую возможную алгебраическую степень точности?
Напомним, что квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности , если она точна для многочленов степени меньшей или равной .
Заметим, что формула (2) содержит всего 2n неизвестных параметров (n узлов и n весовых коэффициентов). Столько же коэффициентов содержит и произвольный многочлен степени 2n-1.
Таким образом, наивысшая алгебраическая степень точности формулы (2) не может быть больше 2n-1.
19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
. (2)
Опр 1. Квадратурная формула (2), обеспечивающая условие:
называется квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.
Теорема 1. Пусть {Pk(x)}, k=0,1,…, - система ортогональных с весом многочленов на [a,b]. Для того чтобы формула (2) была квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности, необходимо и достаточно, чтобы узлы совпадали с нулями многочлена Pn(x). При этом такая квадратурная формула - единственная.
Необходимость. Из теории ортогональных многочленов известно, что при выполнении условия (1) на весовую функцию, существует полная ортогональная на [a,b] c весом система алгебраических многочленов : , (3) где - символ Кронекера.
При этом все нули многочлена Pn(x) при действительны и расположены на [a,b].
Как и при выводе интерполяционных формул, обозначим - полином n-ой степени, нули которого совпадают с узлами интерполяции. Рассмотрим функцию . Так как - алгебраический многочлен степени , то по условию теоремы формула (2) - точна, т.е. . Но т.к. то из (2)
ортогональна системе лишь коэффициентом при старшей степени отличается от многочлена - являются нулями полинома Pn(x).
Достаточность. Пусть - нули полинома Pn(x), и - полином степени . Требуется доказать, что для . Достаточно рассмотреть случай (если формула точна для многочлена степени , то она автоматически точна и для многочлена любой меньшей степени). Пусть . Представим этот многочлен в виде: , (4) где - многочлен -ой степени (частное от деления на ), , - многочлен р-ой степени (остаток от деления). Т.к. - нули полинома , то из (4) следует, что , т.е. является интерполяционным многочленом для : , (5) где - фундаментальный многочлен Лагранжа - степени. Учитывая (4) и (5), распишем интеграл:
(6) Формула (6) - квадратурная формула интерполяционного типа, причем для и, значит, и для любого многочлена степени, меньшей или равной . Единственность квадратурной формулы (2) следует из единственности выражений для нулей ортогонального полинома Pn(x).
20.
(6) Формула (6) - квадратурная формула интерполяционного типа, причем для и, значит, и для любого многочлена степени, меньшей или равной .
Определение 2. Квадратурная формула (6) наивысшей алгебраической степени точности носит название формулы Гаусса-Кристоффеля, а весовые коэффициенты - коэффициенты Кристоффеля.
Теорема 2. Весовые коэффициенты Кристоффеля удовлетворяют следующим условиям:
1) , 2) 3) . (7) По доказанному в теореме (в-19), формула (6) точна для многочленов порядка , в частности, для - свойство (2). Возьмем в качестве полином степени : , где - произвольный номер, а - фундаментальный многочлен Лагранжа, построенный по нулям многочлена . Учитывая свойства многочленов , получим из (6): .
Из последнего равенства следует, в частности, что (свойство 1)). Кроме того заметим, что , т.к. эти два полинома имеют одну и ту же степень, коэффициент при старшей степени равен 1, и имеют одни и те же нули на отрезке формула (7), т.е. свойство 3) доказано.
Замечание 1. Для остаточного члена квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля справедливо представление:
(8) где , - нули полинома , (a,b). Без доказательства.
Замечание 2. Классические ортогональные многочлены обычно строятся для канонических промежутков: с соответствующими весами . Если - конечный промежуток, то его с помощью линейного преобразования . приводим к отрезку ( ). При этом:
. Приведем основную сводку квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля для основных канонических промежутков.
, - нули полиномов Лежандра Рекуррентные соотношения:
; или , , .
, , - нули полинома Чебышева Рекуррентные соотношения:
,
,
,
- нули полинома Лагерра .
Рекуррентные соотношения:
, ,
, ; - нули полинома Эрмита . Рекуррентные соотношения:
, .