- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
Операции над графиками
1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология математической логики.
1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
Множество - совокупность некоторых различимых объектов. Задать множество - задать признаки, характеризующие эти объекты.
Примеры:
N - натуральные числа, Z - целые числа, Q - рациональные числа, R - вещественные числа, [a,b] – отрезок, (a, b) – интервал, (a,b],[a,b) – полуинтервалы.
Элемент принадлежит множеству x E, элемент не принадлежит множеству x E.
Подмножество A E.
- пустое множество EE.
Обозначение множества перечислением - {a, b, c}.
Обозначение множества указанием характеризующего свойства – { x : x удовлетворет свойству P}.
Пример: N={xZ: x > 0}; [a,b]={x: axb}
Дополнение множества A (или разность двух множеств)
E\A={xE: xA}
Рис. 1.1
Пересечение двух множеств AB ={x: xA и xB}
Рис. 1.2
Если два множества не пересекаются, то это можно записать в виде AB=.
Объединение двух множеств AB ={x: xA или xB}
Рис. 1.3
Основные операции над множествами
Произведение множеств AB ={(x,y): xA и yB}.
Произведение множеств
Пример R2 = R R - плоскость.
1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
Даны множества A и B. Отображение из A в B (или функция определенная на A со значениями в B) - соответствие или закон (обозначим его f ), которое каждому a A сопоставляет единственное b B. Обозначения: A B, f: A B, b=f(a).
a - прообраз, b - образ при отображении f.
Отображение из A в B называется взаимно-однозначным, если
1) разные элементы из A имеют разные образы,
2) каждый элемент из B является образом некоторого элемента из A.
Эквивалентные множества A B или множества одинаковой мощности, если существует взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств.
Счетное множество A N.
Пример: Множество рациональных чисел счетно.
Одно из важных свойств счетных множеств:
Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.
Несчетные множества. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Множество [0,1] имеет большую мощность, чем N. Множество эквивалентные по мощности отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума. Множество действительных чисел R - несчетное множество, это множество является множеством мощности континуума.
1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
Примеры:
|
Квантор |
Субъект |
Связка |
Предикат |
1 |
Все |
числа |
являются |
не рациональными |
2 |
Некоторые |
натуральные числа |
- |
четны |
В последнем случае подразумевается связка “являются”. Вместо термина предикат мы будем использовать также термин свойство. Суждения бывают истинными или ложными. Противоположное свойство P или отрицание свойства P обозначается значком или .
В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя классами (классом субъектов и классом предикатов):
Все S являются P (каждый из S удовлетворяет свойству P)
Некоторые из S являются P ( существует представитель из S, удовлетворяющий свойству P )
Здесь S обозначает класс субъектов, а P - класс предикатов (или некоторое свойство, характеризующее этот класс ). Все, каждый, любой, произвольный называются универсальным квантором или квантором общности. Квантор общности обозначается значком . Некоторые из, существует - экзистенциальные кванторы. Квантор существования обозначается значком . Таким образом, основные типы суждений можно записать в следующей форме (логической связке соответствует символ двоеточия ):
xS: P (для любого x из S выполнено свойство P).
xS: P (существует x из S, для которого выполнено свойство P).
Предикат и субъект в суждении могут быть составными, в частности они сами могут быть суждениями. Например, рассмотрим высказывание (суждение):
> 0 > 0 x,|x - x0|< : | f(x) – 2 |< .
Это высказывание следует читать так: Для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля, (что) для всех икс, удовлетворяющих неравенству |x - x0|< , выполнено неравенство . Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:
S1 : P1, где S1 - класс субъектов, именно: S1={xR,x > 0}, P1 - предикат,
P1=(S2 : P2), где S2=S1, P2 - предикат,
P2=(xS3: P3), S3= S3()={xR:|x - x0|<}, P3 – предикат (свойство) |f(x)-2|<.
Прямая и обратная теоремы, эквивалентность, метод математической индукции
Структура простейшей теоремы выглядит следующем образом: дано свойство A (условие), из него выводится свойство B (заключение).
В этом случае говорят A влечет B (из A следует B) и пишут A B . Последняя запись подразумевает, на самом деле, истинность выражения A B.
Если к тому же B A, то говорят, что верна и обратная теорема и пишут A B, при этом A и B называются эквивалентными.
Теорема. Отрицание суждения должно строиться по следующим формальным правилам:
1. квантор заменяется на квантор .
2. квантор заменяется на квантор .
3. предикат P заменяется на свое отрицание.
Пример: >0 >0 x,|x - x0|< : |f(x)-2| < .
его отрицание >0 >0 x,|x - x0|< : |f(x)-2| .
Доказательство достаточно провести для двух типов простейших суждений:
1. x: P.
2. x: P.
Для таких суждений сформулированная теорема достаточно очевидна. Например, для первого суждения. Если для любого x выплнено P , то отрицанием будет: найдется x для которого P не будет выполнено. Это означает, что . Если эта теорема доказана для простейших суждений 1 и 2, то остается еще раз заметить, что любое суждение можно представить, как составное и последовательно применять доказанное утверждение для простейших суждений, составляющих данное суждение.
Метод математической индукции
Имеется последовательность свойств Pn. Если доказано свойство P1 и для всех k:
Pk Pk+1, то свойства Pn справедливы для всех n N.