Рекомендуемые задачи для подгтовки

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4

К задаче № 1: [2 ] №№ 1340-1349, 1392-1397, 1412-1414, 1428-1431, 1453-1456, 1494-1497.

К задаче № 2: [2 ] №№ 1572-1578, 1585-1589.

К задаче № 3: [2 ] №№ 1596-1601, 1605-1609.

К задаче № 4: [2 ] №№ 1613-1616, 1618-1621.

К задаче № 5: [2 ] №№ 1626-1631.

Задачи для контрольных заданий

Контрольная работа № 3. “Приложения дифференциального исчисления”

Задача № 1

. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

1. у=х²+16/х , [1,4]. 11/ y=4-4/x²-x, [1,4].

2. у=2 - x, [0,4]. 12. y= , [-3,3].

3. y=x-4 + 5, [1,9]. 13. y=10x/(1+x²), [2,4]

4. y=3 -x -4/(x+2)², [-1,2]. 14. y=2x²-59 +108/x, [2,4].

5. у= , [1,4]. 15. y= , [-5,1].

6. y= -x²/2+ 8/x+ 8 , [-4,-1]. 16. y=х - 4 +8, [-1,7].

7. y= , [-2,4]. 17. y= -13, [2,6].

8. y=2 -x+2, [1,5]. 18. y=4/x²+8x-15, [1/2,2]

9. y=-x²/2+(2x +8)/(x-2), [-2,1]. 19. y= 4x/(4+x²), [-4,2].

10. y=4/x²-8x-15, [-2,-1/2]. 20. y= , [-1,2].

Задача № 2

1. Прямой круговой конус описан около полущара так, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Радиус шара равен 5. Найти радиус основания и высоту конуса, при которых его объем будет наименьшим.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим.

3. Прямой круговой конус описан около прямого кругового цилиндра так, что плоскости и центры их оснований совпадают. Радиус основания цилиндра равен 4, а высота равна 6. Найти радиус основания и высоту конуса, при которых его объем будет наименьшим.

4. Найти отношение радиуса основания цилиндра к его высоте, при котором цилиндр. Имеющий данную полную поверхность S, имел бы наибольший объем.

5. Площадь прямоугольника равна 9 кв.ед. Найти стороны прямоугольника, при которых его периметр будет наименьшим.

6. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание. Был наименьшим.

7. В шар радиуса R вписан прямой круговой цилиндр. Найти высоту цилиндра, при которой его объем будет наибольшим.

8. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2 и 1м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?

9. В шар радиуса 6 ед. Вписан прямой круговой конус. Найти высоту конуса, при котором его объем будет наибольшим.

10. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V , причем стоимость квадратного метра материала для дна равна р₁, а стоимость квадратного метра материала для стенок равна р₂ . При каком отношении радиуса дна к высоте затраты на материал будут наименьшими? 11. В область, ограниченную параболой у²=4х и прямой х=3, вписан прямоугольник, две стороны которого параллельны оси параболы. Найти стороны прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей

12. Через данную точку Р (1,4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наибольшей.

13. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины сечения на квадрат его высоты. Найти ширину и высоту сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра d , чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим.

14. По углам квадратного листа жести со стороной, равной 12, вырезаны одинаковые квадраты и оставшиеся края листа загнуты под прямым углом так, чтобы образовалась открытая сверху коробка. Каковы должны быть размеры вырезанных квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

15. Требуется изготовить открытую сверху коробку с квадратным дном, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, вместимостью 108 куб.ед. Найти размеры коробки, при которых на ее изготовление потребуется наименьшее количество материала.

16. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины - по 50 см. Найти размер ее большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.

17. В прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 24 см и углом 60⁰ вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

18. В шар данного радиуса R вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

19. В шар данного радиуса R вписать прямой круговой конус с наибольшим объемом.

20. В данный эллипс х²/а²+у²/в²=1 вписать прямоугольник наибольшей площади со сторонами параллельными осям эллипса.