- •Методические указания
- •Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению курса математики
- •Несобственный интеграл
- •Правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Вопросы для самопроверки к контрольной работе № 3
- •Рекомендуемые задачи для подгтовки к выполнению контрольной работы № 3
- •Вопросы для самопроверки к контрольной работе № 4
- •Рекомендуемые задачи для подгтовки
- •Задачи для контрольных заданий
- •Задача № 1
- •Задача № 2
- •Задача 3.
- •Задача № 1
- •Задача 2
- •Задача № 4
- •Задача № 5
- •Примеры решения задач к контрольной работе № 3
- •Примеры решения задач к контрольной работе № 4
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задача № 5
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной заданными линиями; сделать чертеж.
1. у= 4 - х2; у=0. 11. у = 4х - х2; у=0.
2. у = 4х - х2; у = 3. 12. у= 4 - х2; у=-2х+4.
3. х2+у2=4; х= 1. 13. х2+у2=9 ; у=3-х.
4. у= 2- х2/2; у=0. 14. у = 2х - х2; у=0.
5. у=2/х; х= 2; х= 4; у=0. 15. у= 2 - х2; у=2-х.
6. у= х2-1; х= 3; у=0 16. у= 3-2 х2; у=1.
7. у2=4-х; у=0; х=0. 17. у=1/х; х=1; х= 2; у=0.
8. х2+у2=4; у=х+2. 18. х2-у2=1; х= 2.
9. у= 5 - х2; у=1. 19. у2=4-х; у=-х/2+2.
10. у=4/х; у=0; х= 2; х=4. 20. х2-у2=1; х= 2.
Примеры решения задач к контрольной работе № 3
Пример 1. Определить на отрезке [ -3; 3/2] наибольшее и наименьшее значения функции y = x3 -3x+3.
Решение. Если искомое значение достигается внутри отрезка, то это значение будет одним из экстремумов. Но может случиться, что наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
1) Находим максимумы и минимумы функции на отрезке [ -3;3/2] . Из условия = 0 находим критические точки.
= 3x2 -3 =0; x1 =1; x2 = -1.
Проверяем достаточное условие = 6х, тогда. (1)=6 >0. Следовательно, в точке х=1 имеет место минимум: у (1) =1. Далее, (-1)= -6< 0.
Следовательно, в точке х= -1 имеет место максимум
у (-1) = 5.
2) Определяем значения функции на концах отрезка:
у (-3)= -15, у (3/2) = 15/8. Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке [-3;3/2] есть
у (-1) = 5, а наименьшее значение - у (-3) = -15.
Пример 2. Найти высоту прямого конуса с наименьшим объемом, описанного около шара данного радиуса R .
Решение. Найдем зависимость объема конуса от его высоты H. Проведем сечение плоскостью, проходящей через высоту конуса BК (Рис. 1).
V= r2H.
Здесь r = AК -радиус основания конуса.
Пусть ABК= . OC AB как радиус, проведенный в точку касания.
Из АВК r=H tg , V= H 3 tg2 . Найдем tg2 .
Из OBC sin = = , cos2 =1- . tg2 =
=
V= .
Найдем область определения получнной функции. Так как из геометрического смысла V>0, то Н >2R, то есть функция опрелелена на интервале. Следовательно, функция принимает наименьшее значение во внутренних точках минимума интервала.
Найдем производную = . =0 при H=0, H=4R. Следовательно, при этих значениях Н функция V может иметь экстремум. Найдем вторую производную = . T.к. H >2R , >0 и при H=4R объем конуса будет минимальным.
Пример 3.
Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра
Решение. Если кривая задана уравнением у = f ( х), то
где α – угол, образованный с положительным направлением оси Ох касательной к кривой в точке с абсциссой .
Уравнение касательной к кривой у = f ( х) в точке имеет вид
.
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.
Уравнение нормали имеет вид
.
Кривая в примере задана параметрически. Найдем ее производную .
При . Найдем значения ., , соответствующие . Получим =0, =0.
Уравнение касательной у=х, уравнение нормали у= −х.
Пример 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f ( х) и, используя результаты исследования, построить ее график
y = x3 / 2 (x+1)2
Решение.Полное исследование функций будем проводить, придерживаясь плана:
1) найти область определения функции;
2) найти точки разрыва;
3) отметить простейшие свойства (четность, периодичность, пересечение с осями);
4) асимптоты (вертикальные, наклонные);
5) критические точки первого рода (из условия (x)=0 или (x)`- не существует);
6) критические точки второго рода (из условия (x)=0 или (x) не существует);
7) интервалы возрастания и убывания;
8) экстремумы;
9) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
На основании проведенного исследования строится график функции.
1. Найдем область определения функции.
Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, х+1= 0; х = -1. Таким образом, D (y) =(- .
2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О(0,0).
3. Исследуем функцию на четность или нечетность
Очевидно, что у(-х) у (х) и у(-х) -у(х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.
4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.
а) Вертикальные асимптоты.
Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = 1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет асимптотой вычислим пределы справа и слева при от функции f(x):
= - ; = - .
Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.
б) Наклонные асимптоты.
Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+ в при .
k = 1/2;
Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 -1 является асимптотой при . Те же самые значения пределов для k и b получим и при , поэтому найденная прямая является асимптотой и при .
5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции .
= .
Стационарными точками являются х = 0, х = -3, при которых = 0. Других критических точек, отличных от стационарных, у функции нет. При >0 функция возрастает, при <0 убывает.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную
.
Точкой, где может менять знак, является точка х = 0, следовательно, х = 0 является точкой перегиба. Если < 0, функция выпукла, при > 0 - вогнута.
7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы .
x |
( ) |
-3 |
(−3,−1) |
−1 |
(−1,0) |
0 |
(0,∞) |
|
+ |
0 |
− |
Не сущ. |
+ |
0 |
+ |
|
− |
|
− |
Не сущ |
− |
0 |
+ |
у |
Возр., вып. |
Мах у= = |
Убыв., вып. |
Не сущ |
Возр., вып. |
Т. п. |
Возр., вогн. |
8. Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 2).
Пример 5 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f ( х) и, используя результаты исследования, построить ее график
1. Найдем область определения функции.
Из области определения логарифма следует
.
Таким образом, D (y) =(- .
2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Так как х = 0 не входит в обдасть определения функции, то точек пересечения с осью Оу нет. Найдем точку пересечения с осью Ох:
Таким образом ( ) – точка пересечения с осью Ох.
3. Исследуем функцию на четность или нечетность
Очевидно, что у(-х) у (х) и у(-х) -у(х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.
4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот.
а) Вертикальные асимптоты.
Вертикальные асимптоты можно искать лишь в виде х = 3 и х=0. Для доказательства, что эти вертикальные прямые будут асимптотами вычислим односторонние пределы при от функции f(x):
Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности действительно будут вертикальными асимптотами.
б) Наклонные асимптоты.
Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+ в при .
k =
Так как k=0, то наклонных асимптот нет, прямая у= −1 является горизонтальной асимптотой.
5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции .
= .
0 при любом х из области определения функции; не существует при х = 3 и х=0. Эти точки не входят в область определения функции0. При >0 функция возрастает, при <0 убывает.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную
.
Точкой, где может менять знак, является точка х =−3/2, которая не входит в область определения функции, следовательно, точек перегиба нет. Если < 0, функция выпукла, при > 0 - вогнута.
7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы .
-
x
( )
(0,∞)
−
−
−
+
у
Убывает
выпуклая.
Убывает,
вогнутая.
8. Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 3).