Задача № 5

Найти изображение по Лапласу функции f(t).

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. .

6. , 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задача №6.

Найти оригинал по заданному изображению

,

, ,

,

,

, ,

, ,

, ,

, .

Задача № 7.

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

1. ; 6.

х(0) = 0, 1. х(0) = 0, 1.

2. 7.

х(0) = 0, 1. х(0) = 1; 0.

3. 8.

х(0) = 0; 0. х(0) = 0, 0.

4. 9.

х(0) = 0, 0. х(0) = 0, 0.

5. 10.

х(0) = 0, 0. х(0) = 1, 0.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Контрольная работа № 8. « Теория вероятностей и элементы математической статистики» Задача № 1.

Три стрелка одновременно произвели по одному выстрелу в общую мишень. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью р₁, второй - с вероятностью р ₂, третий - с вероятностью р₃ . Найти вероятность того, что: а) все стрелки попадут, б) все стрелки промахнутся, в) только один стрелок попадет, г) хотя бы один стрелок попадет. (См. исходные данные в таблице).

Задача № 2.

Решить следующие задачи, используя формулу полной вероятности или формулу Байеса.

1. Имеется три урны. В первой а белых шаров и b черных, во второй с белых и d черных, в третьей только белые шары. Из произвольной урны вынимается один шар. Найти вероятность, что этот шар белый.

2. Имеются две урны: в первой 3 белых и 4 черных шара, во второй 2 белых и 3 черных. Из первой урны во вторую перекладывают два шара, шары перемешивают. После этого из первой урны берут один шар. Найти вероятность, что он белый.

3. По объекту производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле соответственно 0,4; 0,5; 0,7. Для вывода объекта из строя достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном - с вероятностью 0,2. Найти вероят-

ность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

4. У рыбака имеются три места лова, которые он посещает с равной вероятностью. На первом месте рыба клюет с вероятностью 0,6; на втором - 0,7; на третьем - 0,5. Известно, что рыбак три раза закидывал удочку и рыба клюнула один раз. Найти вероятность того, что он ловил на первом месте.

5. В ящике лежат 20 теннисных мячей, 15 новых и 5 старых. Для игры наудачу выбираю 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу берут еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

6. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2; у второго - 0,6. В результате залпа оказалось одно попадание. Какова вероятность, что попал первый стрелок?

7. Три стрелка, вероятности попадания которых в мишень при одном выстреле соответственно равны 0,8; 0,7 и 0,6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность того, что в мишени окажется ровно две пробоины.

8. В группе из 20 стрелков имеются 5 отличных, 9 хороших и 6 посредственных стрелков. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, хороший - с вероятностью 0,8, и посредственный - с вероятностью 0,7. Наугад выбранный стрелок выстрелил в мишень и попал. Какова вероятность, что это был отличный стрелок?

9. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй - 4 белых и 7 черных шаров. Из первой во вторую перекладывают три шара, а затем из второй извлекают один шар. Определить вероятность, что он белый.

10. Рабочий обслуживает три разных станка, производя при этом одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего - в два раза меньше, чем второго. Вероятность брака для первого станка равна 0,03; для второго - 0,01; для третьего - 0,04. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь - бракованная.

11. Экспедиция пройдет перевал в горах при хорошей погоде с вероятностью 0,9; при ветреной погоде - с вероятностью 0,7; и с вероятностью 0,3 при буране. После выхода на маршрут радист получил сведения, что с вероятностью 0,2 погода будет хорошей, с вероятностью 0,5 погода будет ветреной, и с вероятностью 0,3 случится буран. Какова вероятность того, что перевал будет пройден?

12. Имеется две урны. В первой а белых шаров и b черных, во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность, что этот шар белый.

13. В альбоме 5 чистых и 7 гашеных марок. Из них наудачу извлекают 3 марки , подвергают спецгашению и возвращают обратно. После этого вновь извлекают одну марку. Определить вероятность того, что марка чистая?

14. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. После этого из второй урны извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

15. По самолету производится три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,3; при втором - 0,5; при третьем - 0,7. Для вывода самолета из строя с вероятностью 0,3 достаточно одного попадания, с вероятностью 0,5 достаточно двух попаданий. Попадание трех снарядов заведомо достаточно для вывода самолета из строя. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

16. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?

17. Человек, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело три дороги. Вероятность выхода из леса в течении часа по этим дорогам равна соответственно 0,3; 0,1; 0,4. Чему равна вероятность, что заблудившийся выбрал первую дорогу, если известно, что он вышел из леса в течении часа?

18. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46%, третьей - 34%. Известно, что процент брака на первой, второй и третьей фабриках 0,02; 0,04; 0,08 соответственно. Найти вероятность того, что выбранное изделие произведено на первой фабрике, если при испытании оно оказалось бракованным.

19. Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель обстрелянная одним орудием поражается с вероятностью р. Чему равна вероятность, что из трех целей только две будут поражены.

20. В урне лежит шар неизвестного цвета - с равной вероятностью белый или черный. В урну опускают один белый шар и после перемешивания наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того. Что в урне остался белый шар?