Примеры решения задач к контрольной работе № 8

Пример 1. Два стрелка производят по одному выстрелу по одной мишени. Первый попадает в мишень с вероятностью 0,8, второй - с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка попадут в мишень, б) оба стрелка промахнутся, в) только один стрелок попадет, г) хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение. Пусть событие А означает, что первый стрелок попал в мишень, событие В - попал второй. По условию Р(А) = 0,8, Р(В) = 0,6.

а) Пусть событие С - оба стрелка попали в мишень, тогда С = АВ. Поэтому, учитывая независимость событий А и В, по теореме умножения вероятностей имеем

Р(С) = Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 0,8  0,6 = 0,48.

б) Перейдем к противоположным событиям, которые состоят в том, что первый стрелок промахнулся , второй стрелок промахнулся . Тогда событие D = означает, что оба стрелка промахнулись.

Р(D) = Р( ) = Р( ) P ( )= (1 - Р(А)) ( 1 - Р(В)) = 0,2  0,4 = 0,08.

в) Событие Е - только один стрелок попал можно представить в виде

Е = А + В . События А и В несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим

Р(Е) = Р(А +В ) = P (А )+Р(В ) =

= P (А)Р( )+Р(В)Р( ) =

= 0,8  0,4 + 0,6  0,2 = 0,44.

г) Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А, В равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий , . Пусть событие F - хотя бы один стрелок попал. Тогда

Р(F) = 1 - Р( ) = 1 - Р( ) P ( ) = 1 - 0,2  0,4 = 0,92.

Пример 2. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй - 7 белых и 1 черный. Из первой урны в первую переложили 2 шара, затем наудачу извлекли шар из второй урны. Найти вероятность того, что выбранный из второй урны шар - белый.

Решение. Если событие А может произойти только совместно с одним из событий Н₁ , Н₂ , ..., Н , образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность Р(А)появления события определяется по формуле полной вероятности: Р (А) = Р(H ) Р(А/H ), где Р(H ) - вероятность гипотезы H , Р(А/H ) - условная вероятность события А при этой гипотезе.

Вероятность извлечения белого шара из второй урны после добавления двух шаров из первой урны зависит от состава шаров (по цвету) в этой урне. При этом возможны следующие гипотезы:

Н₁ - из первой урны во вторую переложены два белых шара,

Н₂- из первой урны во вторую переложен один белый и один черный шар,

Н₃ - из первой урны во вторую переложены два черных шара.

Найдем вероятности этих гипотез . Вероятность каждой гипотезы связана с вероятностью извлечения соответствующих шаров из первой урны. Тогда получим

Р (Н₁ ) = = 0,1,

Р (Н₂) = = 0,6,

Р (Н₃) = = 0,3.

Пусть А - событие, состоящее в извлечении белого шара из второй урны, если предварительно имела место одна из гипотез Н_i. Условные вероятности события А будут :

Р(А/H₁) = 9/10, Р(A/Н₂) = 8/10, Р(A/Н₃) = 7/10.

По формуле полной вероятности найдем вероятность извлечения белого шара из второй урны

Р(А) = Р(H₁) Р(А/H₁) + Р(H₂) Р(А/H₂) + Р(H₃) Р(А/H₃) =

= 0,1 0,9 + 0,6 0,8 + 0,3 0,7 = 0,78.

Пример 3. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Если вероятности гипотез до опыта были Р (Н₁), Р (Н₂) , ..., Р(Н ), а в результате опыта появилось событие А , то условная вероятность Р(Н /A) с учетом появления события А вычисляется по формуле Бейеса:

Р(Н /A) =

Возможны три гипотезы: H₁ - на линию огня вызван первый стрелок; H₂ - на линию огня вызван второй стрелок; H₃ - на линию огня вызван третий стрелок. Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то вероятности этих гипотез до опыта Р(H₁) = Р(H₂) = Р(H₃) = 1/3.

В результате опыта наблюдалось событие А - после произведенных двух выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события

Р(А/H₁) = 0,7  0,7 = 0,49; Р(А/H₂) = 0,5  0,5 = 0,25; Р(А/H₃) = 0,2  0,2 = 0,04.

По формуле Бейеса для частного случая, когда вероятности гипотезы опыта равны между собой, находим вероятность гипотезы Н₁ после опыта:

Р(H₁/A) = = 0,628

Пример 4. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях событие появится: а) ровно 3 раза, б) не менее трех раз, в) не более трех раз г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна 0,8.

Решение. Так как число испытаний невелики, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли: (k) = , где

, число сочетаний из n элементов по k , q =1 -p. В рассматриваемом случае:

а) вероятность появления события ровно 3 раза в 5 испытаниях

P (3) = = = 0,2048.

б) вероятность появления события не менее трех раз в 5 испытаниях

P (3) + P (4) + P (5)= 0,2048 + + + = 0,2048 + 0,4096 + 0,3277 = 0,9421.

в) вероятность появления события не более 3 раз в 5 испытаниях

P (0)+ P (1) + P (2) + P (3)= 1 - P (4) - P (5)= 1 - 0,4096 - 0,3277 = 0,2629.

г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях

P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) = 1 - P (0) = =1 - == 1 - 0,0003 = 0,9997.

При решении б) - г) использована теорема сложения вероятностей несовместных событий, а при решении в), г) - понятие противоположных событий, сумма вероятностей которых равна 1.

Пример 5. Вероятность попадания в цель у стрелка р = 0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание М [X] и дисперсию D [X].

Решение. Случайная величина Х может принимать значения : 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что попаданий не будет р (х=0) найдем по формуле Бернулли P (k) = , здесь p = 0,8, q = 1- p= 0,2, n = 3, k = 0.

p (x=0) = = = 0,008.

Аналогично найдем p (x=1) – в результате трех выстрелов будет одно попадание

p (x=1)= = 0,8 0,4 = 0,096;

p (x=2)= 0,384; p (x=3)=0,512.

Ряд распределения будет иметь вид

x_i 0 1 2 3

p_i 0,008 0,096 0,384 0,512

Математическое ожидание М [Х] и дисперсию D [Х] определим по формулам

М [X] = х_ip_i =0,096 + 2 0,384 + 3 0,512 = 2,4 ;

D [X] = (х_i -M[X])² p _i ; или

D [X] = M[X²] – (M[X] )².

Предварительно построим ряд распределения случайной величины X²

x_i ² 0 1 4 9

p_i 0,008 0,096 0,384 0,512

M[X²] = 0,096 + 4 0,384 + 9 0,512 =6,24.

D [X]=6,24 – (2,4)² = 0,48.

Пример 6. Дана плотность распределения

f (x) =

случайной величины Х. Найти параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М [X], дисперсию D [X], вероятность выполнения неравенства

0 < х< 3.

Решение. Для определения параметра а воспользуемся основным свойством плотности распределения

f (x) dx =1, т.к. при x плотность распределения равна нулю, то интеграл примет вид

dx =1, или

, откуда а =1/2.

Функция распределения связана с функцией плотности соотношением

F(x) = f (x) dx.

1) х< , F(x) = 0 dx=0;

2) x< , F(x) = 0 dx+ = ;

3) х F(x) = 0 dx+ +

Таким образом F(x) =

Математическое ожидание М [Х] и дисперсию D [Х] определим по формулам

М [X] = х f (x) dx, D [X] = (х -M[X])² f (x) dx

В нашем случае

М[X]= d x= = =0.

D [X] = dх = dх + = .

Вероятность выполнения неравенства 0 < х < определим по формуле

Р( 0 < х < ) = f (x) dx = F ( ) - F (0) = 1-1/2= 1/2.

Пример 7. Найти вероятность попадания в данный интервал (15,25) нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание а = 20 и среднее квадратическое отклонение  = 5.

Решение. Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой

Р ( Х ) = Ф  Ф .

Здесь Ф (х)= - функция Лапласа, значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф(х) нечетная, получим

Р (15 Х25 ) = Ф  Ф =

= Ф (1 )  Ф (- 1) = 2 Ф (1)= 2 0,34 = 0,68.

Пример 8. Определить доверительный интервал для оценки с надежностью =0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, , если известно выборочное среднее = 14, объем выборки n = 25 и генеральное среднее квадратическое отклонение = 5.

Решение. Требуется найти доверительный интервал

-- < a < + (*)

Здесь t – значение аргумента функции Лапласа Ф (t). при котором 2 Ф (t)= . Все величины кроме t известны. Найдем t из соотношения Ф (t)= 0,95/2= 0,475. По таблице функции Лапласа, зная ее значение, находим значение аргумента t =1,96. Подставив t =1,96, = 5, n = 25, = 14 в (*), окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04< a < 15,96.