3. Классическое определение вероятности.

опр: Вероятность – это количественная характеристика возможности наступления некоторого случайного события.

Если при проведении испытаний в результате появляется событие А, то любой исход, при котором появляется событие А, называется благоприятствующему этому событию.

опр: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу равновозможных несовместных исходов, образующих полную группу.

P(A)=m/n, где m – число исходов, благоприятствующих событию А, n – общее число исходов испытаний.

Из классической вероятности вытекают следующие свойства:

1. Вероятность достоверного события равна 1. P()=1. Доказательство: если событие достоверное, то все исходы испытания ему благоприятствуют, т.е. m=n => P(A)=m/n=n/n=1.

2. Вероятность невозможного события равна 0. P()=0. Доказательство: если событие невозможное, то нет исходов благоприятствующих, т.е. m=0. => P(A)=m/n=0/n=0.

3. Вероятность случайного события 0<P(A)<1. Если событие случайное, то число благоприятствующих этому событию исходов меняется от 0 до n. 0<m/n<n/n. 0<P(A)<1. Вероятность любого события меняется от 0 до 1.

Вывод: P[0,1].

При решении задач на вероятность иногда возникают трудности при подсчете числа исходов испытаний. В этом случае используют комбинаторные формулы.

пример: найти вероятность того, что 4-хзначный номер случайно встреченного автомобиля состоит из 4-х одинаковых цифр. n=10⁴, m=10 (0000, 1111, 2222,…,9999)

P(A)=10/10⁴=10^-3=0,001.

4. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность.

Наряду с вероятностью одним из основных понятий теории вероятностей является и относительная частота появления событий.

опр: Относительной частотой появления события называется отношение числа исходов, в которых событие А появилось к общему числу фактически произведенных исходов. W(A)=m/n.

Сравнивая понятия вероятности и относительной частоты, видим, что вероятность высчитывается до опыта, а относительная частота после. Т.е. для вычисления вероятности необязательно, чтобы испытание проводилось на самом деле а для вычисления относительной частоты это важно.

пример: ОТК 3 нестандартные детали из 80 случайно отобранных деталей W(A)=3/80. Относительная частота обладает свойством устойчивости. Т.е. при большом количестве испытаний, ее значение изменяется мало колеблясь относительно одного постоянного числа. Было доказано, что обычно это число и принимают за вероятность.

Следующий недостаток классического определения вероятности заключается в том, что при подсчете вероятности предполагается, что количество исходов в испытании конечно. На практике же число исходов испытаний обычно бесконечно. Самой слабой стороной классической теории вероятностей является то, что невозможно на самом деле представить результаты испытаний в виде совокупности элементарных исходов и кроме того очень сложно найти основания, доказывающие, что эти исходы равновозможные. Для преодоления той слабой стороны классического определения вероятности, которая связана с предложением конечного числа исходов в испытании, вводят понятие статистической вероятности.

опр: Статистическая вероятность – это относительная частота появления события.

Свойства, вытекающие из классического определения вероятностей, справедливы и для статистической вероятности.

Для существования статистической вероятности необходимо:

1. Возможность хотя бы принципиально производить неограниченное количество испытаний, в каждом из которых событие А либо появляется, либо не появляется.

2. Устойчивостью относительной частоты в различных сериях достаточно большого количества испытаний.

Недостатком статистического определения вероятности является его неоднозначность (относительная частота ~0,4; или близкое к нему: ~0,39;0,41,…). Недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что каждое испытание не может иметь бесконечное, число исходов ликвидируется с помощью геометрической вероятности.

опр: Под геометрической вероятностью понимается попадания точки в область (част отрезка, плоскости и т.д.).

1. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На L наудачу брошена точка. В этих условиях это означает выполнение следующих предположений: а) точка может находиться на месте любой точки отрезка L. б) вероятность падения брошенной точки на L пропорциональна длине отрезка l и не зависит от расположения этого отрезка относительно отрезка L. Тогда вероятность попадания точки на отрезок l определяется: .

2. Пусть область g является частью области G. На область G наудачу брошена точка, это означает выполнение следующих предположений: а) брошенная точка может попасть в любую точку области G. б) вероятность попадания точки в область g пропорциональна площади g и не зависит от расположения области g относительно G, и от формы g. Тогда вероятность попадания точки на g: .