13. Начальные и центральные теоретические моменты дискретной случайной величины, мода, ассиметрия и эксцесс.

опр: Начальным теоретическим моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины в k-й степени. _k=M(X^k).

Частный случай: ₁=M(X); ₂=M(X²); Следовательно, D=₂-(₁)²_.

опр: Центральным теоретическим моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание от отклонения случайной величины в k-й степени.

_k=M(X-M(X))^k.

Частный случай: ₁=M(X-M(X))=0 (по основному свойству отклонения);

₂=М((X-M(X))²)=D(X).

₂=₂-(₁)² – связь между начальным и центральным моментами.

₃=₃-3₂₁+2(₁)³; ₄=₄-4₃₁+6₂(₁)²-3(₁)⁴;

опр: Модой случайной величины Х называется наиболее вероятное ее значение М₀(Х). Данное определение справедливо только для дискретной случайной величины.

опр: Ассиметрией случайной величины Х называется отношение центрального теоретического момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения. As=₃/³;

опр: Эксцессом случайной величины Х называется величина равная E_k=(₄/⁴)-3;

14. Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства, график.

Для того, чтобы описать любую случайную величину (как дискретную, так и непрерывную) вводят понятие функции распределения вероятности. Пусть Х – случайная величина.

опр: Функцией распределения случайной величины X (функции распределения вероятностей) F(X) называется вероятность того события, что случайная величина х принимает значение меньше x. F(X)=P(X<x).

С точки зрения геометрии F(x) – задается точкой с абсциссой, расположенной левее х.

Свойства F(x):

1. F(X) – неубывающая функция, т.е. F(X₂)>=F(X₁), при X₂>X₁.

2. 0<= F(X)<=1 (по определению F(X)).

Следствие к свойству 1): вероятность того, что случайная величина х принимает свои возможные значения от a до b равна функции приращения на этом интервале, т.е. P(a<=X<=b)=F(b)-F(a).

Следствие к свойству 1): вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает (только!) одно вполне определенное значение равное 0.

3. Если случайная величина х принимает свои значения в интервале от a до b, то справедливы следующие равенства: F(X)=0, при x<=a и F(X)=1, при x>=b.

замечание: если случайная величина х принимает все значения, распределенные на оси ОХ, то справедливы следующие предельные соотношения:

и . Из свойств F(X) очевидно, как будут располагаться графики.

1. График F(X) для непрерывной случайной величины расположен в полосе между прямыми у=0 и у=1.

2. На промежутке (a,b) график поднимается.

3. Левее x=a ординаты графика равны 0, правее x=b ординаты графика равны 1.

Для дискретной случайной величины график F(X) ступенчатый.

15. Плотность распределения вероятностей неопределенной случайной величины, ее свойства.

Непрерывную случайную величину, кроме функции распределения F(X), можно задать с помощью плотности распределения.

опр: Плотностью распределения вероятностей случайной величины х называется функция f(x)=F’(x).

теорема: Вероятность того, что случайная величина х принимает свои возможные значения в интервале (a<x<b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b. P(a<x<b)= .

По известной плотности распределения можно получить функцию распределения по следующей формуле: .

Свойства плотности распределения:

1. Плотность – есть функция неотрицательная (f(x)>=0).

2. Если случайная величина х принимает все возможные значения на (a,b), то =1.

замечание: Если х принимает все возможные значения на всей оси ОХ, то .

(считаем, что несобственный интеграл в левой части сходится абсолютно).