4. Предел функции на расширенной прямой. Пределы основных элементарных функций (оэф). Примеры.

Расширенная числовая прямая   (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел  , дополненное двумя элементами:   (положительная бесконечность) и  (отрицательная бесконечность), то есть

Бесконечности   и  , которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел  , называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа   по определению полагают выполненными неравенства

Следует отличать расширенную числовую прямую   от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью  . Такая система называется проективной прямой, и обозначается 

В   все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть  , где  . В частности f может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть 

К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция y=xⁿ

2) показательная функция y=a^x

3) логарифмическая функция y=log_ax

4) тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

5) обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x.

Предел элементарной функции в точке ее определения равен частному значению функции в этой точке 

Это свойство функций и называется непрерывностью в точке х₀.

Функции, полученные из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа композиций, называются элементарными.

5. Замечательные пределы и их использование при нахождении производных. Примеры.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

примеры:

Согласно нашему правилу нахождения пределов (пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида  , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

 примеры:

Б-м ф-ии, действия над ними

Опр. Ф-ция (х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если (х)0 при хх0, а f(x) определена и ограничена ( С:(х)С)=> (х)(х)0 при хх0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м (х)/(х)0 при хх0 то говорят что б/м  имеет более высокий порядок малости чем .

2) Если (х)/(х)A0 при хх0 (A-число), то (х) и (х) наз-ся б/м одного порядка.

3) если (х)/(х)1 , то (х) и (х) наз-ся эквивалентными б/м ((х)~(х)), при хх0.

4) Если (х)/^n(х)А0, то (х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно (х).

Аналогичные определения для случаев: хх0-, хх0+, х-, х+ и х.