- •1.Матрица. Линейные операции над матрицами. Действия над матрицами.
- •2.Определитель 2 –го и n-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение.
- •3.Системы линейных уравнений. Метод Крамера.
- •4.Системы линейных уравнений Метод матричный.
- •5.Системы линейных уравнений Метод Гаусса.
- •6.Векторы, операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •7.Векторы, операции над векторами. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •8.Орт вектора. Коллинеарность и ортогональность векторов.
- •9.Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- •10.Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •11 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •12 Вычисление угла между прямыми
- •16.Вычисление угла между плоскостями.
- •17.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •18.Прямая в пространстве: общие, параметрические и канонические уравнения, их эквивалентность; уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
- •19.Плоскость и прямая в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости.
- •20 Кривые второго порядка
- •21 Основные элементарные функции и их свойства.
- •22.Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Нечетность, периодичность.
- •23.Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •24.Основные свойства бесконечно малых величин.
- •25.Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин.
- •26.Первый замечательный предел.
- •27.Второй замечательный предел.
- •28.Непрерывность функции.
23.Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a.
Введем строгое определение предела функции.
Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут или f(x) → b при x → a.
Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < δ должно следовать неравенство |f(x) - b| < ε, т.е. при x Î (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε.
Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный.
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.
Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.
Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х≠a, удовлетворяющих условию |x-a| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.
Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут или f(x)→∞ при x→a.
Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x→∞.
Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .
БЕСКОНЕЧНО малые ФУНКЦИИ
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
24.Основные свойства бесконечно малых величин.
Свойства бесконечно малых
1.Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
2.Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
3.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
4.Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.