- •1.Матрица. Линейные операции над матрицами. Действия над матрицами.
- •2.Определитель 2 –го и n-го порядков. Минор и алгебраическое дополнение.
- •3.Системы линейных уравнений. Метод Крамера.
- •4.Системы линейных уравнений Метод матричный.
- •5.Системы линейных уравнений Метод Гаусса.
- •6.Векторы, операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •7.Векторы, операции над векторами. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •8.Орт вектора. Коллинеарность и ортогональность векторов.
- •9.Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов.
- •10.Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •11 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •12 Вычисление угла между прямыми
- •16.Вычисление угла между плоскостями.
- •17.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •18.Прямая в пространстве: общие, параметрические и канонические уравнения, их эквивалентность; уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
- •19.Плоскость и прямая в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости.
- •20 Кривые второго порядка
- •21 Основные элементарные функции и их свойства.
- •22.Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Нечетность, периодичность.
- •23.Определение предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •24.Основные свойства бесконечно малых величин.
- •25.Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин.
- •26.Первый замечательный предел.
- •27.Второй замечательный предел.
- •28.Непрерывность функции.
7.Векторы, операции над векторами. Векторное произведение векторов и его свойства.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.
Пусть даны три некомпланарных вектора а,б,с с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый –а , второй –б , третий – с.
Тройка некомпланарных векторов а,б,с называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора с , то кратчайший поворот от а, к б, осуществляется по часовой стрелке.
Векторным произведением векторов а и б называется новый вектор с , удовлетворяющий условиям:
1.Длина вектора с, равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и б .
2.Вектор с перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
3.Он направлен так, что векторы а и б образуют правую тройку векторов.
Векторное произведение векторов а и б обозначается символом а*б . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
1.Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:
2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак
3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов а,б.
4. Для любых векторов имеет а,б,с место равенство
5.Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.
Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.
Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.
8.Орт вектора. Коллинеарность и ортогональность векторов.
Ортом вектора а называется вектор еденичной длины, имеющий то же напрвление, что и вектор а. Орт вектора можно получить, разделив вектор на его длину
В рассмотрении геометрических векторов вводится определение следующей операции.
Произведением вектора а на число альфа называется вектор а , получающийся из вектора растяжением (при модуль альфа больше 1 ) или сжатием (при модуль альфа меньше 1 ) в модуль альфа раз, причём направление вектора а сохраняется, если альфа больше 0 , и меняется на противоположное, если альфа меньше нуля.
Из определения следует, что векторы а и б = альфа а всегда расположены на одной или параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. Справедливо и обратное утверждение: если векторы а и б коллинеарны, то они связаны соотношением
(8)
Следовательно, равенство (8) выражает условие коллинеарности двух векторов.
В рассмотрении векторов, заданных в координатной форме, условие коллинеарности двух векторов (8) примет вид
или
Это векторное равенство справедливо лишь в том случае, если выполняются следующие три скалярных равенства:
или
т.е. необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат.
Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.