22. Математическое описание элементов и систем автоматики в статическом режиме
Для создания автоматич. сис-м необх. иметь математ. описание процесса и матем. модель самой сис-мы. За счет использ. моделей во многом упрощаются решения поставленной задачи. Модель системы отображ. опред. хар-ки системы. Вместе с аналитическими моделями использ. и экспериментальные. Аналитические модели более полно отраж. параметры объекта управления и системы, но и содержат ряд допущений и ограничений.
По сути, математической моделью явл. совок-ть уравнений и граничных условий, связывающих вых. и вх. параметры САР и САУ, описывающ. состояние этих систем в установившемся и переходном режимах.
Установившийся (статический) режим хар-ся состоянием, когда вх. и вых. параметры системы постоян. во времени.
Для описания элементов и систем автоматики в статич. режиме исп. статическая хар-ка, выражающ. зависимость вых. величины у элемента или сис-мы от вх. величины х в установившемся режиме, т. е. y = f(x). Эта зависимость явл., как пр-ло, нелинейной и ее не всегда удается описать аналитической функцией в целях дальн. анализа. В этих случ. исп. ряд приемов и методов.
Метод осреднения, когда нелин. хар-ка – непрерывная функция на задан. участке ее изменения, заменяется нек-й, наиб. подходящей аналитической функцией, например прямой линией (рис. а).
|
|
Метод малых отклонений основан на замене нелин. хар-ки в окрестности раб. точки М (xм , yм), прямой линией, касательной в этой точке (рис. 6.1, б). При этом раб. диапазон элемента или системы x мал, а точка М находится в его середине.
Аппроксимирующая
функция
уа
= y0
+
k
x,
где k
= tg
,
будет тем точнее отображать исх.
зависимость y
= f(x)
в районе точки М,
чем меньше участок x.
Метод выбранных точек осн. на подборе аналитич. выражения, напр. степенного многочлена, связывающего величины y и x при условии их совпадения в известных точках на статической хар-ке: М0 (x0 , y0); М1 (x1 , y1) … Мn (xn , yn). При известных знач. координат точек (x0 … xn; y0 … yn), коэф. многочлена находятся из системы ур-й:
y0 = а0 + а1х0 + …+ аnx0n;
y1 = а0 + а1х1 + …+ аnx1n;
yn = а0 + а1х n + …+ аnx n n.
Элементы и системы автоматики в статич. режиме хар-ся коэффициентом передачи, определяемым из статической хар-ки, как
k=dy/dx.
Для датчиков коэф. К наз. коэф. чувствительности, для усилителей – коэф. усиления.
23. Динамический режим работы сар, динамические хар-ки: временные и частотные
Динамический режим раб. для элементов и систем автоматики явл. основным. Для его описания исп. дифференц. уравнения, частотные, временные и передаточные характеристики. Для сравнения динамических св-в элементов и систем рассматривают их переходные процессы при нулевых начальных условиях и типовых вх. воздействиях.
Временные характеристики При описании элементов и систем автоматики исп. 2 временные хар-ки – переходную и импульсную.
Переходной хар-кой h(t) элемента или сис-мы назыв. ее реакцию на единичную функцию (Рис. 6.3, а). Экспериментально снятую перех. Хар-ку наз. кривой разгона.
Импульсной характеристикой g(t) , наз. реакцию элемента (системы) на вх. воздействие в виде дельта – функции (Рис. 6.3, б).
|
|
Для
линейных
элементов и систем
g(t)
и h(t)
связаны соотношениями
;
Частотные хар-ки Если в кач-ве вх. воздействия исп-ся гармоническое колебание, то получ. частотные хара-ки. При усл. линейности элемента (системы), применив комплексный метод, на выходе (Pис.6.4, а) получим комплексную, или амплитудно-фазовую характеристику (АФХ), к-ю обозн. К(j). Выражение К(j) можно представить в показательной форме, как К(j)= К()e j t,
где К() – амплитудно-частотная хар-ка (АЧХ); () – фазочастотная хар-ка (ФЧХ).
|
Рис. 6.4. Частотные характеристики CАР: а) принцип получения АФХ; б) АЧХ и ФЧХ САР. |
Частотные хар-ки - АЧХ и ФЧХ показ., как будет изменяться амплитуда и нач. фаза колебания, проходящего через САР или элемент при изменении частоты этого колебания от нуля до бесконечности(Рис. 6.4, б).
Для данного объекта, САР или ее элемента, АФХ связана с временными хар-ми этого объекта через преобразования Фурье, аналогично как и вх. сигналы.