- •Глава 5 Кривые второго порядка
- •§1 Окружность
- •§2 Эллипс
- •§3 Гипербола
- •§4 Парабола
- •Практическое занятие № 5 Кривые второго порядка
- •Домашнее задание № 5
- •§5 Полярная система координат. Переход от полярной системы координат к декартовой и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах
- •§ 6 Преобразование прямоугольных координат. Параллельный перенос координатных осей без изменения их направления
- •Вопросы для самоконтроля
- •Практическое занятие № 5/
- •Домашнее задание № 5/
§4 Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки, называемой фокусом и заданной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы имеет вид , (51)
где число , равное расстоянию от фокуса до директрисы , называется параметром параболы. Координаты фокуса . Точка называется вершиной параболы, длина отрезка - фокальный радиус точки , ось - ось симметрии параболы.
Рисунок 69 Рисунок 70
Уравнение директрисы параболы имеет вид ;
фокальный радиус вычисляется по формуле .
В прямоугольной системе координат парабола, заданная каноническим уравнением , расположена так, как указано на рисунке 69.
Замечания.
1) Парабола, симметричная относительно оси и проходящая через точку (рисунок 70), имеет уравнение (52)
Уравнение директрисы: , фокальный радиус точки параболы .
Рисунок 71 Рисунок 72
(53) (54)
3) На рисунках 73 – 76 приведены графики парабол с осями симметрии, параллельными координатным осям.
Рисунок 73 Рисунок 74
Рисунок 75 Рисунок 76
Практическое занятие № 5 Кривые второго порядка
Задача 1
Составить уравнение окружности, проходящей через три точки , , .
Решение:
Подставим координаты точек и в данное уравнение: .
От второго уравнения отняли первое уравнения и результат поставили на первое место. От третьего уравнения отняли первое уравнения и результат поставили на второе место. Третье уравнение оставили без изменения.
.
Ответ.
Задача 2
Привести уравнение кривой к каноническому виду и изобразить кривую, которая определяется уравнением: .
Решение: , сгруппируем переменные.
, вынесем за скобки.
, в скобках дополним до полного квадрата.
,
сгруппируем по формуле полного квадрата.
,
,
Уравнение окружность с центром в точке и . Рисунок 77
Задача 3.
Установить вид кривой по следующим уравнениям:
а) ; б) ; в)
и сделать чертеж.
Решение.
а) : . Возведем в квадрат правую и левую часть уравнения.
. Мы получили уравнения окружности с центром в точке и радиусом .
Рисунок 78
б ) , . Возведем в квадрат правую и левую часть уравнения.
.
Уравнения окружности с центром в точке и радиусом .
Рисунок 79
в) , . Возведем в квадрат правую и левую часть уравнения.
. Дополним до полного квадрата правую часть. .
. Получили уравнения окружности с центром в точке и радиусом .
Рисунок 80
Задача 4
Дано уравнение эллипса . Найти:
а) длины его полуосей;
б) координаты фокусов;
в) эксцентриситет эллипса;
г) уравнения директрис и расстояние между ними;
д) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12.
Р ешение. Разделив обе части уравнения на 1176 мы получим уравнение эллипса в каноническом виде .
а) длины полуосей эллипса , , т.е. , .
б) координаты фокусов. Так как , то , . Следовательно, и . Рисунок 81
в) эксцентриситет эллипса. Так как , то .
г) уравнения директрис имеют вид и . Тогда , т.е. и ; расстояние между ними .
д) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12. По формуле находим абсциссу точки, расстояние от которой до точки равно 12: , т.е. . Подставляя значение в уравнение эллипса, найдем ординату этой точки: , , .
Условию задачи удовлетворяет точка .
Задача 5
Показать, что уравнение определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет (изобразить эллипс).
Р ешение. Преобразуем данное уравнение кривой.
,
Сгруппировали переменные и вынесли за скобки
коэффициенты при наивысших степенях. В каждой скобке выделим полный квадрат.
.Раскроем скобки.
,
. Получили уравнение эллипса,
центр находится в точке . Из уравнения находим: , и , . Рисунок 82
Поэтому . Эксцентриситет эллипса .
Задача 6
Составить уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами, лежащими на оси . Эллипс проходит через точки и .
Решение.
Уравнение эллипса имеет вид: . Так как эллипс проходит через точки и , то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса: и . Умножая второе равенство на и складывая с первым, находим , т.е. . Подставляя найденное значение в первое уравнение, получаем , откуда . Таким образом, искомое уравнение эллипса есть .
Ответ.
Задача 7
Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокус и уравнение соответствующей директрисы .
Решение.
По теореме: Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы равно эксцентриситету, рассмотрим любую точку принадлежащую эллипсу, значит .
;
,
,
.
Рисунок 82
Ответ.
Задача 8 Установить вид линии, которая определяется следующим уравнением и изобразить ее.
Решение.
. Возведем в квадрат правую и левую часть уравнения. . Перенесем переменную в левую часть и выделим полный квадрат.
,
Получили уравнения эллипса.
Центр эллипса находится в точке .
.
.
Рисунок 83
Задача 9
Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокус и уравнение соответствующей директрисы .
Решение.
Точка принадлежит эллипсу, если отношение расстояний до фокуса и соответствующей директрисы равно , т.е. .
,
,
Рисунок 84
.
Ответ. .
Задача 10
Дано уравнение гиперболы . Найти:
а) длины его полуосей;
б) координаты фокусов;
в) эксцентриситет гиперболы;
г) уравнения асимптот и директрис; и нарисовать кривую.
Решение.
Разделив обе части уравнения на 16, приведем уравнение гиперболы к каноническому виду : .
а) длины его полуосей , , т.е. , ;
б) координаты фокусов. Используя соотношение , находим , т.е. . Координаты фокусов: и ;
в) эксцентриситет гиперболы. По формуле находим ;
г ) уравнения асимптот и
директрис найдем по формулам
и :
и .
Рисунок 85
Задача 11
Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8.
Решение.
Искомое уравнение гиперболы имеет вид . Согласно условию , ; , . Из соотношения найдем мнимую полуось : , , . Получаем - уравнение гиперболы.
Ответ.
Задача 12
Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках и , а длина мнимой оси равна 6.
Решение.
Центр гиперболы лежит на прямой , параллельной оси . Уравнение гиперболы имеет вид . По условию , . Расстояние между фокусами равно 14, т.е. , . Используя соотношение , находим : , . Центр гиперболы делит расстояние между фокусами пополам. Поэтому , . Записываем уравнение гиперболы: .
Ответ.
Задача 13
Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2.
Решение.
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид . Найдем отношение , воспользовавшись формулами , и условием : . Отсюда , т.е. . Имеем: . Следовательно, уравнения асимптот гиперболы есть и .
Угол между асимптотами найдем через угловые коэффициенты по формуле
, .
Ответ.
Задача 14
Дан эллипс . Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах эллипса, а фокусы гиперболы – в вершинах данного эллипса.
Рисунок 86
Решение.
Найдем координаты вершин и и фокусов эллипса, записав его уравнение в канонической форме . Имеем , ; , . Из соотношения находим : , . Можно записать: , , , . Обозначим через , , - соответственно полуоси гиперболы и половину расстояния между ее фокусами. Тогда, согласно условиям задачи, можно записать: , т.е. и , т.е. . Из соотношения находим , поэтому , . Подставляя найденные значения и в уравнение , находим - искомое уравнение гиперболы.
Ответ.
Задача 15
Дано уравнение гиперболы .
Найти:
а) длины его полуосей;
б) координаты фокусов;
в) эксцентриситет гиперболы;
г) уравнения асимптот и директрис;
д) сделать чертеж.
Решение.
,
,
- каноническое уравнение гиперболы. Центр гиперболы находится в точке .
а) длины полуосей гиперболы. ; .
б) координаты фокусов. Так как .
и .
в) эксцентриситет гиперболы.
г) уравнения асимптот и директрис.
, - уравнения асимптот.
; - уравнения директрис.
д) сделать чертеж
Рисунок 87
Задача 16
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет , фокус и уравнение соответствующей директрисы .
Решение.
При решении используем теорему. Отношение расстояний от любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы равно эксцентриситету.
Так как точка принадлежит гиперболе, то , где - расстояние от точки до , - расстояние от точки до прямой . Таким образом ; .
.
,
,
,
,
.
Ответ.
Задача 17
У становить и нарисовать линию, которая определяется уравнением .
Решение.
.
,
,
Рисунок 88
. Уравнение гиперболы, центр в точке .
.
З адача 18
Дана парабола . Найти координаты ее фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса точки .
Решение.
Парабола задана каноническим уравнением: . Следовательно, , . Используя формулы, координаты фокуса ; Рисунок 89
уравнение директрисы есть ; фокальный радиус
точки равен .
Ответ. ,
Задача 19
Найти вершину, фокус и директрису параболы , построить эскиз параболы.
Решение.
Преобразуем уравнение , выделив в правой части полный квадрат:
,
т.е. или - уравнение параболы с вершиной в точке : , . Прямая является осью симметрии параболы. Рисунок 90
Координаты фокуса , , т.е. .
Уравнение директрисы , т.е. . График изображен
на рисунке 90.
Ответ. , ,
Задача 20
Составить уравнение параболы, если даны ее фокус и директриса .
Решение.
Точка лежит на параболе, если она равноудалена от фокуса и директрисы .
Таким образом, точка лежит на параболе, если : и .
,
Возведем в квадрат правую и левую части уравнения.
,
,
.
Ответ.
З адача 21 Установить и изобразить линию, которая определяется уравнением: .
Решение. .
,
.Получили уравнение параболы в каноническом виде, центр которой находится в точке .
. Рисунок 91