§5 Полярная система координат. Переход от полярной системы координат к декартовой и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах

В полярной системе координат основными постоянными элементами, по отношению к которым определяется положение точки на плоскости, являются точка - полюс и ось , которая называется полярной осью.

Если - произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом , то ее положение на плоскости вполне определено заданием двух чисел: - ее расстояние от полюса, выраженного в ед. масштаба, и - угла, на который следует повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы она совпадала с лучом. Из них первой координатой считается , а второй . Координата называется полярным радиусом точки (иногда радиусом-вектором точки ), а координата - ее полярным углом^{^*}.

Полярный угол считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке.

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось совпадает с полярной осью, ось же перпендикулярна оси и направлена так, что ей соответствует полярный угол , то по известным полярным координатам точки ее прямоугольные координаты и вычисляются из формул

, .

Если же известны прямоугольные координаты и точки, ее полярные координаты определяются по формулам

; ; ; (55)

§ 6 Преобразование прямоугольных координат. Параллельный перенос координатных осей без изменения их направления

Преобразованием системы координат называется переход от одной системы координат к другой.

При такой замене надо установить формулы, позволяющие по известным координатам точки в одной системе координат определить ее координаты в другой.

Главной целью преобразования координат является определение такой координатной системы, в которой уравнение данной линии становится наиболее простым. Удачное расположение координатных осей можно добиться тогда, когда уравнение кривой приняло наиболее простой вид. Это имеет важное значение для исследования свойств кривой.

Преобразование уравнения кривой второго порядка к простейшему виду достигается в общем случае 1) параллельным переносом координатной системы без изменения направления осей и 2) поворотом осей.

Е сли имеются две системы прямоугольных координат с разными началами, оси которых параллельны и одинаково направлены, то между координатами одной и той же точки в этих системах координат существует зависимость