- •Теорема о связи первообразной и функции. Понятие неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование по частям. Круговой интеграл
- •1. Линейность:
- •2. Инвариантность формы интеграла:
- •3. Интегрирование по частям:
- •Интегрирование рациональных функций (1 теорема Остроградского).
- •Интегрирование иррациональных функций (подстановка Эйлера)
- •Интегрирование тригонометрических функций (универсальная тригонометрическая подстановка).
- •Вычисление площади криволинейной трапеции.
- •7) Замена переменной в определенном интеграле.
- •7)Понятие определенного интеграла
- •10. Вычисление длины дуги графика функции
- •11) Вычисление объема тела вращения
- •12) Несобственные интегралы, теорема сравнения
- •13. Теорема Коши, формулировка для дифференциального уравнения первого порядка.
- •14)Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •Неполные дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка
- •Ду, не зависящие явно от у
- •2)Ду, не зависящие явно от х
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение
- •Линейная независимость решений ду. Определитель Вронского
- •Структура общего решения неоднородного линейного ду
- •21)Метод вариации произвольных постоянных
- •22) Линейные ду с квазимногочленом в правой части
- •23) Преобразования Лапласа. Изображения тождественной, единичной и показательной функции
- •24) Теорема линейности, подобия. Теорема затухания-смещения
- •25) Теорема о дифференцировании оригинала
- •26)Теорема о Дифференцировании изображения. Изображение свертки
13. Теорема Коши, формулировка для дифференциального уравнения первого порядка.
Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.
Для дифференциального уравнения порядка n, разрешенного относительно старшей производной, это задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,…, , т.е. задаются y0,y’0… функции и ее производных до порядка n-1включительно в некоторой начальной х0. число условий равно порядку уравнений.
Теорема Коши: Если функция и её частные производные по переменным y0,y’0… непрерывны в некоторой окрестности точки х0,y0,y’0… , то в некоторой окрестности точки х0 существует единственное решение y=y(x) уравнения удовлетворяющего условиям y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,…, .
Общее решение уравнения зависит от n произвольных постоянных C1,C2…Cn. y=φ(x,C1,C2,…Cn). роль произвольных постоянных играют начальные значения.
Чтобы решить задачу Коши, находят общее решение . y=φ(x,C1,C2,…Cn), затем находят произвольные постоянные из начальных условий, т.е. С1, С2,…Сn находят из системы n уравнений.
y 0=φ(x0,C1,C2,…Cn)
y’0=φ’(x0,C1,C2,…Cn)
…
= (x0,C1,C2,…Cn)
14)Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.
Функция называется однородной функцией степени k, если для любого λ имеет место тождество
т.е. если при умножении x и y на одну и ту же постоянную λ функция умножается на λk . если k=0, т.е. , то функция называется просто однородной.
Простейший пример однородной функции –это однородный многочлен, т.е. многочлен все члены которого имеют одну и ту же степень k.
При умножении(делении) однородных функций снова получается однородная функция степени равной сумме(разности) их степеней. Любую однородную функцию f(x,y) можно представить как функцию от отношения
Дифференциальное уравнение первого порядка y’=f(x, y) называется однородным, если функция f(x,y) однородна.
Дифференциальное уравнение первого порядка может быть представлено в виде
Метод решения: замена =t где t- новая неизвестная функция ,сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Если функция является произведением функции, зависящей только от x, и функции, зависящей только от y, т.е если оно имеет вид . Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид
(2)
Решение уравнения с разделяющимися переменными состоит в следующем. Подставляя , мы можем записать уравнение в дифференциальном виде (2). Затем разделяем переменные, т.е. делаем так, чтобы х содержался только в одной части, а у только в другой. Получаем уравнение с разделяющимися переменными
Интегрируя это уравнение, т.е. приравнивая интегралы от левой и правой части, получим общее решение ДУ с разделяющимися переменными. При вычислении неопределенных интегралов мы учитываем произвольную постоянную только в одном из них.